《高等数学》课程教学资源（课件讲稿）第三章_3.1

第一节中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理四、小结思考题高等数学（上册）

一 、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 四、小结 思考题 三、柯西中值定理 第一节 中值定理

回顾旧知：连续定义从这个定义我们可以看出，函数f(x)在点 x处连续，必须满足以下三个条件：(1)函数f(x)在点 x,处有定义;(2)极限 limf(x)存在，即x->xolim f(x) = lim f(x)x->xox->xo(3) lim f(x)= f(x.) :即：[函数在某点连续等价于函数在该点的极限存在且等于该点的函数值高等数学（上册）

从这个定义我们可以看出，函数 f (x)在点 x0 处连续，必须满足以下三个条件： （1）函数 f (x)在点 0 x 处有定义； （2）极限 lim ( ) 0 f x xx 存在，即 lim ( ) lim ( ) 0 0 f x f x x x x x      （3）lim ( ) ( )0 0 f x f x x x   . 即：函数在某点连续等价于函数在该点的极 限存在且等于该点的函数值. 回顾旧知：连续定义

回顾旧知：导数定义在点x.处的导数dydf(x)或记为y"x=x"x=Xox=xodxdxAyf(x。 +△x)- f(x.即lim: lim11二X=XoAxAxAr-→>0Ar-→0f(xo +h)-f(x.)其它形式f'(xo) = limhh→0f(x)-f(xo)f(xo) = limx-→xox-xo如果极限存在，则称函数y=f()在点xo处可导高等数学（上册）

. ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 h f x h f x f x h      其它形式 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x      x f x x f x x y y x x x x               ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 0 , d d ( ) d d 0 0 x x x x x f x x y  或  即 回顾旧知：导数定义

罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理设函数f(x)满足以下三个条件：(1) 在闭区间」[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)端点值相等:f(a)= f(b)则至少有一点≤ε(a,b),使f()=0高等数学（上册）

一、罗尔(Rolle)定理 罗尔（Rolle）定理 设函数 f (x)满足以下三个条件: (1)在闭区间 [a,b]上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)端点值相等: f (a)  f (b), 则至少有一点 (a,b) ,使 ( ) 0 ' f  

例如, f(x)= x2 -2x-3 =(x -3)(x+1)(1)在[-1,3]上连续(2)在(-1,3)上可导(3) 且 f(-1)= f(3)= 0,: f'(x) = 2(x -1),取=1,(1 ε (-1,3))f'() = 0.高等数学（上册）

例如, ( ) 2 3 2 f x  x  x   ( x  3)( x  1). (1)在[1,3]上连续, (2)在(1,3)上可导, (3)且 f (1)  f (3)  0, 取  1, (1(1,3)) f ()  0.  f ( x)  2( x  1)