《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第7章 多元微积分学 第三节 全微分

Oz02定理2（充分条件）若函数z=f(x,)的偏导数ax'ay在点（x，J）连续，则函数在该点可微分证:△z= f(x+△x, y+△y)-f(x,y)=[f(x+△x, y+Ay)- f(x, y+△y)+[f(x, y+Ay)- f(x,y))= fx(x+0Ax, y+Ay)Ax+f,(x, y+02Ay)Ay(0<01,02 <1)=[fx(x, y)+α]△x +[f,(x, y)+β]Aylim α =0, lim β=0△x-→0△x-0Ay-0Ay→0目录上页下页返回结束机动

= [ f ( x +  x , y +  y ) ] 定理2 (充分条件) y z x z     , 证：  z = f ( x +  x , y +  y ) − f ( x , y ) ( 0 , 1 ) 1 2     f x y x = [ x ( , ) + ]       f x y y y = f x ( x +  1 x, y +  y ) x + y ( , +  2 ) − f ( x, y +  y ) + [ f ( x, y +  y ) − f ( x , y ) ] f x y y + [ y ( , ) + ] 若函数 的偏导数 在 点 ( x, y ) 连 续 , 则函数在该点可微分.   lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x

AZ== fx(x, y)Ax+ f,(x, y)Ay+α△x+ βAylim α =0, lim β=0△x-→0△x-0Ay-0Ay-0αAx+βAy注意到≤α+β,故有pAz= fx(x, y)Ax+ f,(x, y)Ay+o(p)所以函数z=f(x,y)在点(x,J)可微目录上页下页返回结束机动

 z =  f x y x f x y y = x ( , ) + y ( , ) z f x y x f x y y  = x ( , ) + y ( , )       + x + y 所以函数 +   x +   y 在点 可微.       lim 0 0 0 =  →  →  y x lim 0, 0 0 =  →  →  y x 注意到 , 故有 + o( )

推广：类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题例如,三元函数 u= f(x,y,z)的全微分为auduOudu=△x+AV+1Oxz习惯上把自变量的增量用微分表示，于是uduoudx+du=+Ox0201d记作duu9du,du,d,u称为偏微分故有下述叠加原理du=d,u+d,u+d,u目录上页下页返回结束机动

 +   x x u 推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题. 例如, 三元函数 u = f ( x, y , z) d u = 习惯上把自变量的增量用微分表示, d u = 记作 故有下述叠加原理 u u u u x y z d = d + d + d 称为偏微分. z z u d   + uz d 的全微分为  +   y y u z z u    于是 u u u x y z d , d , d

z=ey在点（2,1）处的全微分例1.计算函数az810=rety=yety解：ayazOz2e2e-(2,1)0yl(2,1)ax=e?dx+2e?dy=e(dx+2dy)dz(2,1)yteyz的全微分例2.计算函数u=x+sin2解: du= l.dx+(icos+ zeyz )d y+yeyz dz目录上页下页返回结束机动

例1. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: =   x z 2 2 2 (2,1) , (2,1) e y z e x z =   =   例2. 计算函数 的全微分. 解: d u = y y ( cos ) d 2 2 1 + =   y z , x y ye x y xe y z z e