《高等数学》课程教学资源（PPT课件）第九章 多元函数微分法及其应用 9-2 第二节 偏导数

求多元函数的偏导数并不需要新的方法如求f.(x,J),只需将y看作常量,利用一元函数的求导法对x求导即可例1 求z=xy+siny在点(1,0)处的两个偏导数Ozaz= x + cos y,解= 2xy,axayazaz.= 0,= 2.0xl(1,0)Qyl(1,0)例2 求z =x(x>0)的偏导数Oz解αzyxy-1xyInxayax

求多元函数的偏导数 例1 求 z x y sin y 在点(1,0)处的两个偏导数. 2   解 2xy, x z    cos , 2 x y y z     0, (1,0)    x z 2. (1,0)    y z 如求f x (x, y),只需将y 利用一元函数 的求导法对x求导即可. 看作常量, 并不需要新的方法, 例2 求z  x ( x  0)的偏导数. y 解 , 1    y yx x z x x y z y  ln  

例3 求f(x,y,z)=(z-a)sinlnx2 在点(1,0,2)处的三个偏导数，22二coslnx解 fx(1,0,2) =[sin ln x2 x=1xx=10f,(1,0,2)= 0'lv=0 = 0, f,(1,0,2) = 07=2求某一点的偏导数时，可将其它变量的值代入,变为一元函数,再求导，常常较简单

三个偏导数. 2 ( , , ) ( )sinln xy 求f x y z  z  a x 解 求某一点的偏导数时, 1 2 [sinln ]   x x (1,0,2) y f (1,0,2) z f f x (1,0,2)  1 2 cosln 2   x x x 0 0, 0    y 0 0 2    z 例3 代入,变为一元函数, 在点(1,0,2)处的 可将其它变量的值 再求导, 常常较简单.  2

例4已知理想气体的状态方程pV=RT，其中p为压强,V为体积,T为温度,R为常数,求证：aTapavavaTopRTopRT证pV2avVavRRTaTVPVVUaTopRRppavaTRTRVRTopV2avaTopRpVp偏导数的记号只是一个整体记号，不能像一元函数的导数那样可看成是分子与分母的微分的商

证   V RT p ; 2 V RT V p       p RT V ; p R T V      R pV T ; R V p T             p T T V V p 2 V RT  p R  R V   1. pV RT   1 p V T V T p           p为压强,V为体积,T为温度,R为常数,求证： 例4 已知理想气体的状态方程pV=RT，其中 偏导数的记号只是一个整体记号,不能像一元函数的 导数那样可看成是分子与分母的微分的商

二、偏导数的几何意义设二元函数z= f(x,y)在点M.(xo,yo有偏导数.如图，tz z= f(x,y)设M,(xo, Jo, f(xo, yo))M/z=f(xyo)为曲面z=f(x,y)上的一点，过点M.作平面y=yo,此平面与曲面相交得一曲线，曲线的Vy[z= f(x,y)方程为y= yo:由于偏导数f,(xo,yo)等于一元函数 f(x,Jo)的导数f"(x,Jo）x=x,故由一元函数导数的几何意义

二、偏导数的几何意义 设二元函数z  f (x, y) 0 0 0 0 0 设M ( x , y , f ( x , y )) 在点 ( , ) 0 0 0 M x y 有 如图, 为曲面 z  f (x, y) 偏导数. 上的一点, M0 z  f (x, y) y z O 过点M0作平面 , 0 y  y 此平面 与曲面相交得一曲线, 曲线的 方程为   z  f (x, y), . 0 y  y ( , ) 0 z  f x y 由于偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 等于一元函数 ( , ) 0 f x y 的 导数 ( , ) 0 f  x y , 0 x x 故由一元函数导数的几何意义 0 x 0 y x

z= f(x,y)可知：M.z=f(x,yo)偏导数f(xo,y)在几何上表示=fxo,y)[z = f(x,y)在点曲线(y = yoM(xo,Jo,f(xo,Jo))处的切线对yXx轴的斜率;x偏导数f,(xo,。在几何上表示z= f(x,y)在点 M,(xo, Jo, f(xo, yo)曲线x=xo处的切线对v轴的斜率

可知: x0 Ty Tx 0 y z  f (x, y) y z O ( , ) 0 z  f x y M0 偏导数 ( , ) 0 0 f x y x 在几何上表示 曲线   z  f (x, y) 0 y  y 在点 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y 处的切线对 x轴的斜率; 偏导数 ( , ) 0 0 f x y y 在几何上表示 曲线    z  f (x, y) 0 x  x 在点 ( , , ( , )) 0 0 0 0 0 M x y f x y 处的切线对y轴的斜率. ( , ) 0 z  f x y x