xa例论幂级数zn=1+z+z2+L +zn+Ln=0的收敛范围与和函数解：级数的部分和为Zz1 1;S,(z)=1+z+z2+L +zn-1Zz =1.n.于是<1:7lim s,(2) =i 1- 2n??i发散，[z|3 1.该级数的收敛半径为1，收敛圆为z<1且级数在圆周z=1上处处发散
例 论幂级数 的收敛范围与和函数. 解：级数的部分和为 该级数的收敛半径为1，收敛圆为|z|<1且级数 在圆周|z|=1上处处发散. 于是
2.幂级数的敛散性Abel(阿贝尔）定理如果级数a cnz"在 =zo(0)收敛,那末对n=0满足z<zo的Z，级数必绝对收敛，，如果在= z0级数发散，那末对满足>zo的z，级数必发散
* 2.幂级数的敛散性 Abel(阿贝尔)定理 如果级数 在 收敛,那末对 的 级数必绝对收敛, 如果在 级数发散, 那末对满足 的 级数必发散. 满足
收敛半径和收敛圆Y幂级数ac,z的收敛情况11=（1）除z=0外，级数处处发散：（2）对于所有z级数都收敛，级数在复平面内处处绝对收敛；（3）存在一个正实数R,使级数在z<R中收敛，在>R中发散该正实数R称为级数的收敛半径以原点为中心，半径为R的圆盘称为级数的收敛圆.对幂级数 a c,z0来说，它的收敛圆是以z-0为中心的圆盘
* 收敛半径和收敛圆 幂级数 的收敛情况 （1）除z=0外，级数处处发散； （2）对于所有z级数都收敛，级数在复平面内处 处绝对收敛； （3）存在一个正实数R,使级数在|z|<R中收敛，在 |z|>R中发散 该正实数R称为级数的收敛半径， 以原点为中心，半径为R的圆盘称 为级数的收敛圆.对幂级数 来说，它的收敛圆是以z=0为中心 的圆盘
收敛半径的计算方法Cn+1方法1（比值法）= ，则如果limnRYCnY(1）l=0，?c,z" 在复平面内处处收敛，即 R=.n=0(2)=，则对z10，?c,z"均发散，即 R=0.n=0(3）0<l<?，那末收敛半径R1
* 收敛半径的计算方法 方法1（比值法） 那末收敛半径 即 即
如果limc,=1，则方法2（根值法）nRIY(1）I=0，?c," 在复平面内处处收敛，即 R=.n=0(2)=，则对z10，?c,z"均发散，即 R=0.n=0(3）0<l<?，那末收敛半径R1
* 方法2 （根值法） 那末收敛半径 即 即