第三章习题课 向量组的线性相关性 二.矩阵的秩、向量组的秩的求法 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 四.正交化与正交矩阵
1 第三章 习题课 一. 向量组的线性相关性 二. 矩阵的秩、向量组的秩的求法 三. 关于向量组的秩、矩阵的秩的证明 四. 正交化与正交矩阵
向量组的线性相关性 1.向量间的线性运算:加法、数乘。 把向量理解为列矩阵或行矩阵时,事实上就是矩阵的加法 和数乘。 注意:(1)同维向量做加减。 (2)零向量参与运算时,维数与其它向量维数相同。 2.线性组合、线性表示 (1)判断向量B可由向量组a1,C2,…,cm线性表示的常用方法 方法1:k1a1+k2a2+…+kn2am+km+1B=0 只要证出kn+1≠0, 就可得出B=-a n m+1 m+1 n+1
2 一. 向量组的线性相关性 1. 向量间的线性运算：加法、数乘。 把向量理解为列矩阵或行矩阵时，事实上就是矩阵的加法 和数乘。 注意: (1)同维向量做加减。 (2)零向量参与运算时，维数与其它向量维数相同。 2. 线性组合、线性表示 (1) 判断向量 可由向量组 1 2 , , , m 线性表示的常用方法 方法1： 1 1 2 2 1 0 m m m k k k k + + + + = + 只要证出 1 0, m k + 就可得出 1 2 1 2 1 1 1 m m m m m k k k k k k + + + = − − − −
方法2:证下列线性方程组有解 1X1+a12X2+ 21 22 十 十 2mm aux t anrr2 n1 其中a=a2,B=: 方法3:利用矩阵的初等行变换 (a1,Ox2,…,On,)—>行最简形矩阵
3 方法2：证下列线性方程组有解 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 m m m m n n nm m n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b + + + = + + + = + + + = 其中 1 1 2 2 , i i i ni n a b a b a b = = 方法3：利用矩阵的初等行变换 1 2 ( , , , , ) m ⎯⎯→ 行最简形矩阵
(2)在判断或证明中,常用到的两个重要结论 结论1:向量B可由向量组a1,2,…,am线性表示 分r(a1,2,…,Cn)=r(1,a2,…,Cm,B) 结论2:若向量组a1,a2,…,Om线性无关, 而向量组a1,a2…,an,B线性相关, 则向量必能由向量组a1,C2,…,m线性表示, 且表示式唯一
4 (2) 在判断或证明中，常用到的两个重要结论 结论1：向量 可由向量组 1 2 , , , m 线性表示 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , , ) m m = r r 结论2：若向量组 1 2 , , , m 线性无关， 而向量组 1 2 , , , , m 线性相关， 则向量 必能由向量组 1 2 , , , m 线性表示， 且表示式唯一
3.线性相关性的判别方法 (1)一般方法:设数k1,k2,…,km 使得k1a1+k,a2+…+knan=0成立 转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。 (2)利用常用结论: 1个零向量线性相关;一个非零向量线性无关。 2个非零向量线性相关分>对应分量成比例 n+1个n维向量线性相关。 部分相关→整体相关;整体无关→部分无关。 原向量组无关,维数增加后得到的新向量组依然无关; 原向量组相关,维数减少后得到的新向量组依然相关
5 (2) 利用常用结论： 1个零向量线性相关；一个非零向量线性无关。 2个非零向量线性相关 对应分量成比例 n＋1个n维向量线性相关。 部分相关 整体相关；整体无关 部分无关。 3. 线性相关性的判别方法 (1) 一般方法：设数 1 2 , , , m k k k 使得 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = 成立 转化为齐次线性方程组是否有非零解的问题。 原向量组无关，维数增加后得到的新向量组依然无关； 原向量组相关，维数减少后得到的新向量组依然相关。