北京大学：《高等代数》课程（第三版）教学资源（PPT课件讲稿）第七章 线性变换（7.6）线性变换的值域与核

二、有关性质 1.(定理10)设a是m维线性空间V的线性变换, e12,“,6n是V的一组基,在这组基下的矩阵是A, 则 1)G的值域σ(V)是由基象组生成的子空间,即 a(V)=L(G(1o(a2)…,o() 2)σ的秩=A的秩

6 1. (定理10) 设  是n维线性空间V的线性变换，    1 2 , , , n 是V的一组基，  在这组基下的矩阵是A， 则 1）  的值域  ( ) V 是由基象组生成的子空间，即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L = ( 1 2 n ) 2）  的秩＝A的秩. 二、有关性质

证:1)∈V,设5=x161+x262+…+xnn, 于是σ(9)=x(E1)+x2O(E2)+…+xnO(En) ∈L(a(G),a(a2),…(n Delo(E), 又对Wxσ(61)+x2(E2)+…+xn(En) 有xO(61)+x2O(E2)+…+xnO(En) (x11+x2E2+…+xnEn)∈o(V)

7  L(      ( ), ( ), , ( ) 1 2 n ) 即        ( ) ( ), ( ), , ( ) V L  ( 1 2 n ) 又对 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n  + + + x x x       1 1 2 2 ( ... ) ( ) n n = + + +       x x x V 证： 1 ）   V , 设 1 1 2 2 , n n     = + + + x x x 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) n n 于是         = + + + x x x 有 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) n n x x x       + + +

L(G(61,o(a2)…,o(a,)so( 因此,a()=L(G(G1)(a2)…,(n 2)由1),a的秩等于基象组o(41),o(E2)…O(En) 的秩,又 (a(G,a(a2)…,o(En)=(1,62,…,En)A. 由第六章§5的结论3知,(E1),(62),(En)的秩 等于矩阵A的秩 秩(σ)=秩(A)

8   L V (       ( ), ( ), , ( ) ( ). 1 2 n ) 因此，        ( ) ( ), ( ), , ( ) . V L = ( 1 2 n ) 的秩，又 (         ( ), ( ), , ( ) ( , , , ) . 1 2 1 2 , n n ) = A ∴ 秩 ( )  ＝秩 ( ). A 等于矩阵A的秩. 2）由1），  的秩等于基象组 1 2 ( ), ( ), , ( )       n 由第六章§5的结论3知，       ( ), ( ), , ( ) 1 2 n 的秩

2.设a为n维线性空间Ⅴ的线性变换,则 σ的秩+a的零度=n 即dmo()+dima(0)=n. 证明:设的零度等于r,在核a(0)中取一组基 19c295 并把它扩充为V的一组基:61,E2……,Er,…,En 由定理10,o()是由基象组o(E1),(E2),(GEn 生成的

9 2. 设  为n维线性空间V的线性变换，则  的秩＋  的零度＝n 即 1 dim ( ) dim (0) .   V n − + = 证明：设  的零度等于r ，在核 中取一组基 1  (0) − 1 2 , , , r    并把它扩充为V的一组基： 1 2 , , , , , r n     生成的. 由定理10，  ( ) V 是由基象组 1 2 ( ), ( ), , ( )       n