《高等数学》课程教学资源：第二章 导数与微分（2.7）函数的微分

定理已知函数/(x)在点可微 函数f(x)在点x处可导,且A=f(x0) 证 条件 结论 f(x)在点x可微 函数f(x)在点x可导 2且A=f(x) △ △y=A·Ax+O(Ax) Im f(xo)=A Ax→>0△x △ O(△x) △ 4+ A+a(△x) △x △x 0(△x) △ △ ”上面过程已证 函数y=f(x)在任意点x的微分,称为函数的 微分,记作或(即次元A

6 定理 证： f (x)在点x0 可微 ( ). ( ) , 0 0 A f x f x x 且 =  函数 在点 可导 条件 结论 已知函数 f (x)在点x0 可微 ( ) , ( ). 0 0 函数 f x 在点x 处可导 且 A = f  x “ ” ? f (x ) A x y o x = =    → lim ' 0 A ( x) x y = +     “ ” 上面过程已证 , ( ), ( ) . ( ) , dy df x dy f x x y f x x =   = 微 分 记 作 或 即 函 数 在任意点 的微分 称为函数的 y = Ax + o(x) x o x A x y   = +   ( ) ( x) x o x =     ( )

例1求函数y=x3当x=2,A=0.02时的微分 解∵小=(x)'Ax=3x2△Ax. =3x2△r =0.24 Ar=0.02 Ar=0.02 通常把自变量x的增量Ax称为自变量的微分 记作,即=△x 中=f(x).的 ∫(x) 即函数的微分与自变量的微分之商等于 该函数的导数导数也呻'微商

7 例 1 解 dy = ( x )x 3  3 . 2 = x x0.02 2 2 0.02 2 3  ==  =  = =  xx x dy x x x = 0 .24 . , . , dx dx x x x =   记 作 即 通常把自变量 的增量 称为自变量的微分 dy = f (x)dx. f (x). dx dy =  该函数的导数. 导数也叫"微 商". 即函数的微分dy与自变量的微分dx之商等于 求函数y = x3当x = 2,x = 0.02时的微分

四、微分的几何意义 几何意义:(如图) 当y是曲线的纵 0(△x) 坐标增量时, y=f(r) △ 就是切线纵坐标 对应的增量. +△x 当Δx很小时,在点M的附近, 切线段MP可近似代替曲线段MN 8

8 四、微分的几何意义 y = f (x) 0 x M N T dy y o(x) ） x y o  x 几何意义:(如图) . , 对应的增量 就是切线纵坐标 坐标增量时 当 是曲线的纵 dy y x + x 0 P . , , MP MN x M 切线段 可近似代替曲线段 当  很小时 在点 的附近