621换元积分法
6.2.1 换元积分法
第一类换元法 问题「cos2 exec sin2x+C, 解决方法利用复合函数,设置中间变量 过程令t=2x→= 2 Jcos 2.xdx=5J cos tdt= sint+C= sin 2x+C 2 2
问题 cos2xdx= sin2x + C, 解决方法 利用复合函数，设置中间变量. 过程 令 t = 2x , 2 1 dx = dt cos2xdx tdt = cos 2 1 = sint + C 2 1 sin2 . 2 1 = x + C 一、第一类换元法
在一般情况下: 设F()=/a则∫/(ah=F()+C 如果=q(x)(可微) ∴dFIp(x)=fq(x)g(x)d Iflo(x)lo(x)dx= Flo(x)l+C [f(u)du u=p(x) 由此可得换元法定理
在一般情况下： 设 F(u) = f (u), 则 ( ) ( ) . f u du = F u + C 如果 u = (x) （可微） dF[(x)] = f[(x)](x)dx f[(x)](x)dx = F[(x)]+ C = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 由此可得换元法定理
定理1设f(m)具有原函数,=9(x)可导 则有换元公式 IfIp(x)lo'(x)dx=If(udulesptry 第一类换元公式) 说明使用此公式的关键在于将 JxMk化为qx)(x)在 观察重点不同,所得结论不同
设 f (u)具有原函数， f[(x)](x)dx = = ( ) [ ( ) ] u du u x f 第一类换元公式（凑微分法） 说明 使用此公式的关键在于将 g(x)dx 化为 [ ( )] ( ) . f x x dx 观察重点不同，所得结论不同. u = (x)可导， 则有换元公式 定理1
例1求sin2xbx. 解(-)sm2xk=sm2(2) 2 cos 2x+C; 2 解(二)sin2xdc=2| sin cos xdx 2 sin xd(sin x)=(sin x)+C: 解(三)sin2xdbe=2 sinxcos xdx -2 cos xd(cos x)=-(cos x)+C
例1 求 sin2 . xdx 解（一） sin2xdx = sin2 (2 ) 2 1 xd x cos 2 ; 2 1 = − x + C 解（二） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = 2 sin xd(sin x) (sin ) ; 2 = x + C 解（三） sin2xdx = 2 sin xcos xdx = − 2 cos xd(cos x) (cos ) . 2 = − x + C