、参数方程情形 x=(t) 1y=v() ,(a≤t≤B) 其中q(t),y(t)在a,B上具有连续导数 d=(c)2+(y)2=lg2()+y2(o)(d)2 =√q2()+y"(t)dt 弧长层q"2(t)+y"2(t)d
曲线弧为 , ( ) ( ) = = y t x t ( t ) 其中(t), (t)在[, ]上具有连续导数. 2 2 ds = (dx) + (dy) 2 2 2 = [ (t) + (t)](dt) (t) (t)dt 2 2 = + ( ) ( ) . 2 2 s t t dt = + 三、参数方程情形 弧长
例3求星形线x3+y3=a3(>0)的全长 x=acos t 星形线的参数方程为 (0≤t≤2m) J=asin°t 根据对称性s=4s 第一象限部分的弧长 4[2V()+()dt =4 sint cos tdt 6a
例 3 求星形线 3 2 3 2 3 2 x + y = a (a 0)的全长. 解 = = y a t x a t 3 3 sin cos (0 t 2) 4 1 s = s (x ) ( y ) dt = + 2 0 2 2 4 a t tdt = 2 0 4 3 sin cos = 6a. 根据对称性 第一象限部分的弧长 星形线的参数方程为