6.3几类特殊函数的 不定积分 有理函数的积分 三角函数有理式的积分 简单无理函数的积分
6.3 几类特殊函数的 不定积分 一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分
有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数称之 P(x) ox"+a,x++a-x+a o() box+bx+.+bmx+b 其中m、n都是非负整数;a0,a1,…,an及 bn,b1,…,bn都是实数,并且an≠0,b0≠0
有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. m m m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a Q x P x + + + + + + + + = − − − − 1 1 0 1 1 1 0 1 ( ) ( ) 其中m、n都是非负整数；a a an , , , 0 1 及 b b bm , , , 0 1 都是实数，并且a0 0，b0 0 . 一、有理函数的积分
假定分子与分母之间没有公因式 (1)n<m这有理函数是真分式; (2)n≥m,这有理函数是假分式; 利用多项式除法,假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和 x3+x+1 例 =X+ x2+1 x2+1 难点将有理函数化为部分分式之和
假定分子与分母之间没有公因式 (1) n m, 这有理函数是真分式； (2) n m, 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个 多项式和一个真分式之和. 例 1 1 2 3 + + + x x x . 1 1 2 + = + x x 难点 将有理函数化为部分分式之和
有理函数化为部分分式之和的一般规律: (1)分母中若有因式(x-a),则分解后为 A k_1+…+ k (x-a)(x-a) x-a 其中A1,A2,…,A4都是常数 A 特殊地:k=1,分解后为 x-l
（1）分母中若有因式 ，则分解后为 k (x − a) , ( ) ( ) 1 1 2 x a A x a A x a A k k k − + + − + − − 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 其中A A Ak , , , 1 2 都是常数. 特殊地： k = 1, 分解后为 ; x a A −
(2)分母中若有因式(x2+px+q),其中 P2-4q<0则分解后为 M、Ny+(2 M2x+N2 Mx+N (x2+px+q)( k1+…+-2 x t pxt q r t pxt q 其中M1,N都是常数(i=1,2,…,k) Mx+ 特殊地:k=1,分解后为 x t pxt q
（2）分母中若有因式 ，其中 k (x px q) 2 + + 4 0 则分解后为 2 p − q x px q M x N x px q M x N x px q M x N k k k k + + + + + + + + + + + + 2 −1 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) 其中Mi Ni , 都是常数(i = 1,2,,k). 特殊地： k = 1, 分解后为 ; 2 x px q Mx N + + +