用定义来计算定积分一般是很困难的 下面将要介绍的牛顿一莱布尼茨公式不 仅为定积分的计算提供了一个有效的方 法,而且在理论上把定积分与不定积分 联系了起来
用定义来计算定积分一般是很困难的， 下面将要介绍的牛顿—莱布尼茨公式不 仅为定积分的计算提供了一个有效的方 法，而且在理论上把定积分与不定积分 联系了起来
定理71若函数f(x)在[ab上连续, 且存在原函数F(x),则(x在[a2b 上可积,且 f(x)dx= F(b-F(a) 这即为牛顿一莱布尼茨公式,也常记为 I f(x)dx=F(x).=F(b)-F(a
f (x) [a,b] F(x) f (x) [a,b] = − b a f (x)dx F(b) F(a) = = − b a b a f (x)dx F(x) F(b) F(a) 定理7.1 若函数 在 上连续， ，则 在 上可积，且 这即为牛顿—莱布尼茨公式，也常记为 。 且存在原函数
证给定[ab任意一个分割 △:a <x1<…<x.=b F(b)-F(a)=∑[F(x)-F(xk)=∑f(m)Ax 这里 k=xk=xk-1k∈[x1,xk] 用了 Lagrange中值定理。f(x)∈CLab 由 Cantor定理,在[b]一致连续, 所以E>0,30>0只要5,7∈[a2b
证 [a,b] a x x x b : = 0 1 n = 给定 任意一个分割： ， = = − = − − = n k k k n k k k F b F a F x F x f x 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 这里 k = k − k−1 x x x [ , ] k k 1 k x x − 用了Lagrange 中值定理。 f (x) C[a,b] 由Cantor 定理， f 在 [a,b] 一致连续， 所以 0 0 ， ， 只要 , [a,b]
5-m<δ,就有 f(5)-f()< a/3 于 A=mnx△ySd 时,对 1<k≤n ∈[x k-15k 有 ∑/(EA)Ax4-{P(b)-F(a)=U)-f(m)x<6 注1:在实际应用中,定理的条件是可以适当减弱的,如 F(x):在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且 F(x)=f(x)x∈(an,b)而f(x)只要在[a,b 上可积即可
− ，就有 b a f f − − ( ) () 于是，当 = k k n x 1 max 时，对 [ , ] k k 1 k x x − ，有 − − = − = = n k k k k n k k k f x F b F a f f x 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) F(x) ：在 注1：在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如 [a,b] 上连续，在 (a,b) 内可导，且 F(x) = f (x), x (a,b) .而 f (x) 只要在 [a,b] 上可积即可