峰=ch xy=shx图1-17y=thx-1图1-18根据双曲函数的定义，可证下列凹个公式：(1)sh(r+y)=sh ach y+ch sh y;(2)sh(y)= sh rch y-ch rsh yi(3)ch(r +y)=ch ach y+sh ash y;(4)ch(r-y)=ch xch y-sh zsh y.我们来证明公式（1），其他三个公式读者可自行证明，由定义，得ee.e'te'+e'te.e-e"shchy+chshy=2222e**y-e'"++e*y-e'(+)4-(ity)x+y+e"-ey-A418
e*ty-e'(2n)=sh(r + y)2由以上几个公式可以导出其他一些公式，例如：在公式(4)中令=y并注意到ch0=1,得ch'-sh'r= l :(5)在公式(1)中令r=y.得(6)sh 2x=2sh xch ±;在公式(3)中令=，得(7)ch 2= ch'++sh'以上关于双曲函数的公式（1)至（7)与三角函数的有关公式相类似，把它们对比一下可帮助记忆双曲函数y=sh，y=ch（r≥0)，y=th的反函数依次记为反双曲正弦y=arsh ，反双曲余弦y=arch，反双曲正切Jy=arthI.这些反双曲函数都可通过自然对数函数来表示，分别讨论如下：y=arsha是r=shy的反函数，因此，从r-e-e'2中解出y来便是arsh.令u=e,则由上式有u2-2xu-1=0.这是关于u的一个二次方程，它的根为u=r+i因u=e">0，故上式根号前应取正号，于是u=r+r+i由于y=Inu，故得y=arsh =ln(r+V?+1)函数y=arsh元的定义域为（-8o，+o），它是奇函数，在区间（0o，+o）内为单调增加，由y=shr的图形，根据反函数的作图法，可得y=arsh的图形如图1-19所示下面讨论双曲余弦y=ch（≥0)的反函数.由=chy（y≥0),有r=e'+e'y"y≥02由此得e=±-1故y=In(x+-1)·19
上式中元的值必须满足条件r1，而其中平方根前的符号由于y0应取正，故y-in(r+Vr?-i)上述双曲余弦y-chr（x≥0）的反函数称为反双曲余弦的主值，记作=arch，即y=archr=ln(r+yr-1)这样规定的函数y=arch的定义域为[1,+),它在区间[1，+co)上是单调增加的（图1-20)YHy-archxy=arsh x0图1-19图1-20类似地可得1+ y-arthx1这函数的定义域为开区间（-1,1),它在开区间（-1,1)内是单调增加的奇函数它的图形关于原点对称（图1-21）yarth x图1-21习题1-11.设A=（-8，-5)U(5,+),B=[-10,3),写出AUB,AnBAIB及AI（AIB)的表达式.2.设A、B、C是任意三个集合，证明对偶律：（AΛB）C=AUB3.设映射f:X→Y.ACX，BCX.证明(1) (AUB)-(A)Uf(B);·20
(2)f(ANB)C/(A)NF(B)4.设映射f:X+Y,若存在一个映射g：Y→X，使g°=，t°g=1，其中Ix、1、分别是X，Y上的恒等映射，即对于每一个rEX，有Ix=r；对于每一个yEY，有Iv=v.证明：f是双射，且g是f的逆映射：g=f！5.设映射：X→Y,ACX.记f(A)的原像为/（(A))证明：(I) f-I(F(A))DA;(2）当f是单射时，有F（（A))=A.6.求下列函数的自然定义域：1(1) y=V3.r +2;(2) y-1-1(3) y= /1-7;(4) y-V4-4(6) y= lan(1 +1);(5)y=sinVx;(8)y=/3-+aretan(7) y=urcsin(r-3);(10)y=et(9) y=ln(r+1);7.下列各题中，函数（）和g（）是否相同？为什么？(1) f(x)=lgx, g()=2ig r:(2) f(α)=r, g(α)-VT;(3)(r)=V-,8()=V-1;(4) f()=1, g(r)-secr tan'8.设sin al，Il<p(r)-Ial>f.0,求(()(）,（-2),并作出函数()的图形9.试证下列函数在指定区间内的单调性：(-00,1);(1) y=r(2) y=r+ln t, (0, +o)10.设()为定义在（-1,1)内的奇函数，若/)在(0,1)内单调增加，证明()在（1,0)内也单调增加11.设下面所考虑的效都是定义在区间（一，1)上的证明：（1）两个偶函数的和是偶函数，两个奇函数的和是奇函数；（2）两个偶函数的乘积是偶函数，两个奇函数的乘积是偶函数，偶函数与奇函数的乘积是奇函数21
12，下列函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数，哪些既非偶函数又非奇函数？(2) y-3r2 -r;(1) y=a(1-1):1-22(3) y -(4) y=.t(x -1)(x +1) :1+:(6) y=a ta*(5) y= sin -cos r +1:1213.下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：(1) y= cos(a2);(2)y-Lo9 4;(3)y=1+sin 元x;(4) y=rcos z:(5) y= sin 14.求下列函数的反函数：1(1) y=r+l;(2)y1+(3) y=ar th(中《《中)(4)y=2sin 3（ad·bc#0）；crtd2°(6) y=21(5) y=1+ ln(±+2);15.设函数f(.r）在数集X上有定义，试证：函数（x）在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界又有下界，16.在下列各题中，求由所给函数构成的复合函数，并求这函数分别对应于给定自变量值，和的函数值：2(1) y=.u=sins2=-n=号:元(2) y=sin n.u=2,2=-"号;(3) y=/u,u-1++*., =1.r2 =2;(4) y=e,u=r2,1, =0.32 -l;(5) y=u2,u=et,T, =1,r2=- 1.17.设（）的定义域D=[0,1].求下列各函数的定义域：(1) /(.);(2) f(sin r):(4)(+a)+f(r)(a>0)(3) f(xa) (a>0);18.设1-/<1,1,(2)=30.1al=l, g(x)=e*,(-1, Iz[>1,求g（）和g［），并作出这两个函数的图形19，已知水巢的横断面为等腰梯形，斜角9=40（图1-22）.当过水断面ABCD的面积为定值S。时，求湿周L(IL=AB+BC+CD)与水深h之间的函数关系式，并指明其定义域20.收音机每台售价为90元，成本为60元.厂方为鼓励销售商大量采购，决定凡是订购量超过100台以上的，每多订购1台，售价就降低1分，但最低价为每台75元.22·