图1~22（1）将每台的实际售价p表示为订购量的函数；（2）将厂方所获的利润P表示成订购量的函数；（3）某一商行订购了1000台，厂方可获利润多少？第二节数列的极限一、数列极限的定义极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的.例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法一一割圆术，就是极限思想在几何学上的应用设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为A；再作内接正十二边形，其面积记为A，；再作内接正二十四边形，其面积记为A，；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正6×2"-1边形的面积记为A.（nEN*）.这样，就得到一系列内接正多边形的面积：A1.A2,A,"",A.,"",它们构成一列有次序的数.当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以A，作为圆面积的近似值也越精确.但是无论n取得如何大，只要n取定了，A终究只是多边形的面积，面还不是圆的面积.因此，设想n无限增大（记为n→αo，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时A，也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积.这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列）A，，A2，A，，A，当n→oo时的极限.在圆面积问题中我们看到，正是这.个数列的极限才精确地表达了圆的面积，在解决实际问题中逐渐形成的这种极限方法，己成为高等数学中的一种基本方法，因此有必要作进一步的阐明，先说明数列的概念.如果按照某一法则，对每个nEN*，对应着一个确定的实数工，，这些实数工，按照下标n从小到大排列得到的一个序列:23:
Ti,l2,l3就叫做数列，简记为数列，数列中的每一个数叫做数列的项，第n项工，叫做数列的一般项.例如：12324."n+1.;2,4,8,,2",*;111124g"2;1, - 1,1,,(-1)**f, +(-1)"-)142,213':-n都是数列的例子，它们的一般项依次为"2(-1)*1, "t(-1)"-}n.,2",1n+i'n在几何上，数列1r,1可看作数轴上的一个动点，它依次取数轴上的点132,33，",，(图1-23)药图1-23数列。可看作自变量为正整数n的函数：,=f(n),nENt.当自变量n依次取1，2,3，…等一切正整数时，对应的函数值就排列成数列ix.t.对于我们要讨论的问题来说，重要的是：当n无限增大时（即n一→时），对应的，=f（n）是否能无限接近于某个确定的数值？如果能够的话，这个数值等于多少？我们对数列... n+(-1)"*114(1)2.2n进行分析.在这数列中，T, = n +(-1)*-1=1+(-1)*-112n我们知道，两个数α与6之间的接近程度可以用这两个数之差的绝对值b-al来度量（在数轴上lb-a|表示点a与点b之间的距离）,lb-al越小，a与b就越接近·24
就数列(1)来说，因为(-1)-11【Ix,~1/ =n一越来越小，从而。就越来越接近于1.因为只要由此可见，当n越来越大时，一n足够大，！，-1|即二可以小于任意给定的正数，所以说，当n无限增大时，，欲使二<。无限接近于1.例如，给定00六<100只要n>100,即从第101项起，都能使不等式Iz,-1/<l100成立.同样地，如果给定100则从第 10 001项起，都能使不等式11 x, -11<10 000成立，一般地，不论给定的正数e多么小，总存在着一个正整数N，使得当n>N时，不等式1x,-1<e都成立.这就是数列r=n+（-1)"-（n=1,2，）当n-→8时无限接近于1n这件事的实质.这样的一个数1,叫做数列，="+（=1)"(n=1,2,…)当nn-oo时的极限一般地，有如下数列极限的定义，定义设1，1为一数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数e（不论它多么小），总存在正整数N.使得当n>N时，不等式Ix,al<e都成立，那么就称常数α是数列工，的极限，或者称数列1工，收敛于α，记为limr,=a,或th→a(n→)如果不存在这样的常数a，就说数列1xl没有极限，或者说数列1.l是发散的，习惯上也说lim，不存在，上面定义中正数ε可以任意给定是很重要的，因为只有这样，不等式1，一a<。才能表达出工，与α无限接近的意思.此外还应注意到：定义中的正整数25
N是与任意给定的正数ε有关的，它随差ε的给定而选定我们给“数列，的极限为α”一个几何解释；将常数α及数列，2，，，，"在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的e邻域即开区间（α-E，a+e)（图1-24)26Q+g-E000-a与图1-24lr,-al<&因不等式与不等式a-e<a,<a+e等价，所以当n>N时，所有的点工，都落在开区间（α一，α+e）内，而只有有限个（至多只有N个）在这区间以外为了表达方便，引人记号“V”表示“对于任意给定的”或“对于每一个”，记号“3”表示"存在”.于是，“对于任意给定的>0"写成“V>0”，“存在正整数N”写成"日正整数N”数列极限lim工=a的定义可表达为：lim，=aV>0,日正整数N,当n>N时,有la，-al<数列极限的定义并未直接提供如何去求数列的极限，以后要讲极限的求法，而现在只先举几个说明极限概念的例子。例1证明数列.1.4.3.. n +(-1)"--2··n的极限是1证/z,-al-n+(-1)"-11n2.为了使|，-a|小于任意给定的正数e，只要I<e 或 n>1En所以,e>0,取 N=则当n>N时，就有+(-1)nn +(-1)*-1-=1即limn(- 1)*，证明数列1，1的极限是0.例2已知=(n+1))·26-
(-1)#1证1x-al=01(n+1)n+1(n+1)2Ve>0(设<1),只要1+i<e 或 >F不等式/a，~al<e必定成立.所以，取N=1则当n>N时就有(-1)"0-<E(n+1)2(-1)"即lim=0.(n+1)注意在利用数列极限的定义来论证某个数α是数列文，的极限时，重要的是对于任意给定的正数，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在，但没有必要去求最小的N.如果知道|工一Q小于某个量（这个量是几的一个函数）那么当这个量小于e时，1x，α<当然也成立.若令这个量小于来定出N比较方便的话，就可采用这种方法.例2便是这样做的例3设！gl<1,证明等比数列1,9.g,.,g"-11：的极限是0证V>0(设<1),因为1z,-0|=[g"-1-0/=[q1"-,要使|1，0|<,只要Iqir-l<e.取自然对数,得(n-1)inlgl<lne.因/α/<1,ln1gl<0,In e故n>1++Inql品品,则当n>N时，就有取N=[1+In[gIq"-1-0/<e,即limg*-1=0二、收敛数列的性质下面四个定理都是有关收敛数列的性质定理1（极限的唯一性）如果数列1工，{收敛，那么它的极限唯一6-0.因为证用反证法.假设同时有r.a及x，→b,且a<b.取ε=b2lim.r,=a，故正整数N,，当n>N,时，不等式27