恒成立，则称f(）为偶函数.如果对于任一EDf(-r)=- f(r)恒成立，则称f（）为奇函数例如，f（）是偶函数，因为）=（）==F（）又例如f(）是奇函数，因为()=（）=()偶函数的图形关于y轴是对称的.因为若（x）是偶函数，则（一r）=f(r）,所以如果A（r,f())是图形上的点，则与它关于轴对称的点A（-r，f(r）)也在图形上（图1-13）奇函数的图形关于原点是对称的，因为若f（）是奇函数，则f（一）二-f(）,所以如果A（r，f(）)是图形上的点，则与它关于原点对称的点A"（-，-f（))也在图形上(图1-14)函数y=sinr是奇函数函数y=cos是偶函数.函数y=sinr+cos既非奇函数，也非偶函数，yA[y=f(x)yAy=y(x)x0Y01图1·14图113（4）函数的周期性设函数于（）的定义域为D.如果存在个正数1.使得对于任一rED有(x±1)ED，且f(r+l)=f()恒成立，则称f（）为周期函数，1称为f（）的周期，通常我们说周期函数的周期是指最小正周期例如，函数sin，cos都是以2元为周期的周期函数；函数tan是以元为周期的周期函数，图1－15表示周期为1的一个周期函数.在每个长度为1的区间上，函数图形有相同的形状，并非每个周期函数都有最小正周期.下面的函数就属于这种情形+13
图1-15例10狄利克雷(Dirichlet)函数1,zEQ,D(x)=lo, rEQ.容易验证这是一个周期函数，任何正有理数都是它的周期.因为不存在最小的正有理数，所以它没有最小正周期3.反函数与复合函数作为逆映射的特例，我们有以下反函数的概念设函数f:D→f(D)是单射，则它存在逆映射f:f(D)→D,称此映射f为函数f的反丽数按此定义，对每个Ef(D),有唯一的ED，使得f(）=，于是有f1(y)=.这就是说，反函数f-1的对应法则是完全由函数f的对应法则所确定的例如,函数=，ER是单射，所以它的反函数存在，其反函数为Tyi,yER由于习惯上自变量用表示，因变量用表示，于是=，E的反函数通常写作y=，ER一般地，y=f（）,rED的反函数记成y=f（),Ef(D)若f是定义在D上的单调函数，则f:D-f(D)是单射，于是f的反函数f必定存在，而且容易证明f"也是f（D)上的单调函数.事实上，不妨设在D上单调增加,现在来证明f-在f(D)上也是单调增加的任取yi,yEf(D),且y,<y2.按函数f的定义，对y,在D内存在唯一的原像，使得f）=，于是（）=;对2,在D内存在唯一的原像z使得f()=2于是（2）=2.如果>2，则由f()单调增加，必有>2;如果，=2则显然有=2.这两种情形都与假设不符，故必有，即（）<-（y).这就证明了f-在f(D)上是单调增加的相对于反函数=-（α）来说，原来的函数=f（）称为真接函数.把直-14:
接函数y=f(）和它的反函数y=（）的图形画在同一坐标平面上，这两个图形关于直线y严是对称的（图1-16).这是因为如果P（a，b）是y=(）图形上的点，则有b=f(a).按反函数的定义，有a=/-1（b）,故Q（b，a）是yf（)图形上的点；反之，若Q（，α）是yf（）图形上的点，则P(u,b)是y=()图形上的点.而P(a,b)与Q(b,a)是关于直线y=r对称的yy-fr(x)y-f(x)Q(b.a)p(a,b)图1-16复合函数是复合映射的一种特例，按照通常函数的记号，复合函数的概念可如下表述，设函数y=f(u）的定义域为D,,函数u=g(r）在D上有定义，且g(D）二D，，则由下式确定的函数y=Jlg(r)],rED称为由函数u=g（）和函数y=f(u）构成的复合函数，它的定义域为D，变量u称为中间变量函数g与函数f构成的复合函数通常记为g，即(/og)(a)= f[g(x)].与复合映射一样，g与f能构成复合函数fg的条件是：函数g在D上的值域&（D)必须含在f的定义域D,内，即g（D)CD,.否则，不能构成复合函数.例如，y=f（u）=arcsinu的定义域为［-1,1],u=g（x）=2V1-在D=[1,-|号,|上有定义,且g(D)[-1,1],则g与了可构成复合函数y=aresin2V1-r,rED;但函数y=arcsinu和函数u=2+2不能构成复合函数，这是因为对任一E0)这甲的D居构成的复合两数的定义域，它可以是函数u=g（)的定义域的一个非空子集15
R,u-2+r2均不在y=arcsinu的定义域[-l,1]内有时，也会遇到两个以上函数所构成的复合函数，只要它们顺次满足构成复可构成复合函数二合函数的条件.例如，函数y=u，u=cotu，u=0号,这里及都是中间变量，复合函数的定义域是D=1r|2h<r</cot的自然定义域R，D是R的一个非空子集。(2+1）元，zi.而不是=头4.函数的运算设函数f(）,g（）的定义域依次为D，D，D=D,nD,≠，则我们可以定义这两个函数的下列运算：和(差)[±g:(/±g)()=f(x)±g(t),tED;积f.g:(f-g)(r)=f(r)g(α),aED;商之()(z)=,DVr!g(r)=01.g()g例11设函数"(x)的定义域为（-1,1),证明必存在（-,1)上的偶函数g(a）及奇函数h(z),使得f(r)=g(r)+h(r).证先分析如下：假若这样的g（α）、h（）存在，使得(1)f(α)=g(t)+h(r),月.g(-r)= g(r),h(-r)=-h(r).于是有(2)f(-)=g(-r)+h(-r)=g()-h(α)利用（1）、（2)式，就可作出g（）、h（）.这就启发我们作如下证明：f(r)+ f(-r)],作g(α）-h()=[()-f(-)].则g(α)+h(r)=f(x),g(-x)=[f(-r)+ f())=g(r),h(-)=[f(-α)-f())=-h().证毕，5.初等函数在初等数学中已经讲过下面几类函数：·16
幂函数：y=r"（μER是常数),指数函数：y=a"（a>0且a牛1)，对数函数：v=log（a>0且a≠1，特别当a=e时，记为y=lnr），三角函数：如y=sin,y=cos，y=tanz等，反三角函数：如y=arcsinz，y一arccos，y=aretan等以上这五类函数统称为基本初等函数由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用-个式子表示的函数，称为初等函数.例如y=V-.y=sins，y-ot等都是初等函数.在本课程中所讨论的函数绝大多数都是初等函数应用上常遇到以e为底的指数函数y=e和y=e-所产生的双曲函数以及它们的反函数一一反双曲函数.它们的定义如下：双曲正弦sh a=°-2双曲余弦chr=e+e"2,shte-e*双曲正切thr=chre'+er这三个双曲函数的简单性态如下：双曲正弦的定义域为（一80，十α）：它是奇函数，它的图形通过原点且关丁原点对称在区间（-8，+8）内它是单调增加的当的绝对值很大时，它的1图形在第一象限内接近于曲线y=号e；在第三象限内接近于曲线y=一2e(图1-17)双曲余弦的定义域为（-00，+）：它是偶函数，它的图形通过点（0，1)且关于y轴对称.在区间（一8o,0）内它是单调减少的；在区间（0，+00）内它是单调增加的.ch0=1是这函数的最小值.当的绝对值大时，它的图形在第一象11，在第二象限内接近于曲线=" （图1-17)、限内接近于曲线y=2e双曲正切的定义域为（-，+）：它是奇函数，它的图形通过原点且关于原点对称.在区间（-0，+80）内它是单调增加的.它的图形夹在水平直线y=1及y=一1之间：且当的绝对值很大时，它的图形在第一象限内接近于直线y=1，而在第三象限内接近于直线y=-1（图1-18）①e是，个无理数，这个数的意义见本章第六节，.17