设A，B、C为任意三个集合，则有下列法则成立：()交换律AUB=BUA，ANB=BNA;(2)结合律(AUB)UC=AU(BUC),(ANB)OC=AN(BNC):(3)分配律（AUB)NC=（ANC)U(BNC）(ANB)UC=(AUC)N(BUC);(4)对偶律（AUB)=A°nB，(AB)C=ACUB°.以上这些法则都可根据集合相等的定义验证.现就对偶律的第一个等式：“两个集合的并集的余集等于它们的余集的交集”证明如下：因为E(AUB)-TAUB-AB→EACXEBO-rEA'nBS所以(AUB)CANB;反之，因为EACNBCrEAATEBS→rAB-AUBrE(AUB)S,ASNBC(AUB)"所以(AUB)C=ACNBC.于是注以上证明中，符号“→”表示“推出”（或“蕴含”）.如果在证明的第一段中，将符号“一"改用符号“一"（表示“等价”）.则证明的第二段可省略在两个集合之间还可以定义直积或笛卡儿(Descartes)乘积.设A、B是任意两个集合，在集合A中任意取一个元素a，在集合B中任意取一个元素y，组成一个有序对（1，y），把这样的有序对作为新的元素，它们全体组成的集合称为集合A与集合B的直积，记为A×B，即AXB=I(,)IrEA且yEBI.例如，RR=（，)ER，yE即为rO面上全体点的集合R×R常记作R".3.区间和邻域区间是用得较多的一类数集.设a和b都是实数，且α<b.数集tla<x<bt称为开区间，记作（α，b），即(a,b)=lla<<b1.a和称为开区间（a,b)的端点，这里a女（a,b),b女（a,b).数集irlatb称为闭区间，记作［a，b]，即.3
[a,bl=ixla≤r≤b.a和b也称为闭区间[a，b]的端点，这里aE[a，b]，bE[a，b]类似地可说明：[a,b)=lrla≤r<bl,(a.bl=irla<r≤bl.[a,b)和（α,b]都称为半开区间以上这些区间都称为有限区间，数b-α称为这些区间的长度.从数轴上看，这些有限区间是长度为有限的线段.闭区间[a，b]与开区间（a，b)在数轴上表示出来，分别如图1-1(a)与(b)所示.此外还有所谓无限区间.引进记号+80（读作正无穷大）及一（读作负无穷大），则可类似地表示无限区间，例如[a,+o)=(rlr≥al,(-0,6)=ixlr<bl.这两个无限区间在数轴上如图1~1（c）.（d）所示(a. b)[a, b]LLxxoa046b(b)(a)[a, + 00) (- 80, b)X0G0(d)(c)图1-1全体实数的集合R也可记作（-8，+），它也是无限区间，以后在不需要辨明所论区间是否包含端点，以及是有限区间还是无限区间的场合，我们就简单地称它为“区间”，且常用I表示，邻域也是一个经常用到的概念.以点α为中心的任何开区间称为点α的邻域,记作 U(a).设是任一正数，则开区间（a-，a+8)就是点a的一个邻域，这个邻域称为点a的邻域，记作U(a，).即U(a,)=lxla-<r<a+8l.点α称为这邻域的中心，8称为这邻域的半径（图1-2).88x0atoa-d图1-2由于a-<+相当于-<,因此+4:
U(a,o)=ixlr-a<o.因为lr-a|表示点与点a间的距离，所以U(a，8表示：与点a距离小于的一切点的全体，有时用到的邻域需要把邻域中心去掉，点的邻域去掉中心α后，称为点a的去心邻域，记作（a），即U(a,8)=jrl0<lz-l<8).这里011-|就表.为了方便，有时把开区间（a-，a）称为a的左邻域，把开区间（a，a+）称为a的右邻域，两个闭区间的直积表示zOy平面上的矩形区域.例如[a,bx[c,dl=t(r,y)lrE[a,h],yelc,d]l即为xOy平面上的一个矩形区域，这个区域在轴与y轴上的投影分别为闭区间[a，6]和闭区间[c.d]二、映射1.映射概念定义设X、Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中每个元素，按法则f,在Y中有唯一确定的元素与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作f:X-+ Y,其中y称为元素（在映射下）的像，并记作f（），即y=f(a),元素称为元素y（在映射f下）的一个原像：集合X称为映射f的定义域，记作D,，即D,=X；X中所有元素的像所组成的集合称为映射的值域，记作R,或f(X),即R,=f(X)=if(x)IrEXt.从上述映射的定义中，需要注意的是：（1）构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域D，=X；集合Y,即值域的范围：R,CY；对应法则f,使对每个EX,有唯一确定的y=F(）与之对应(2）对每个EX，元素的像y是唯一的：而对每个yER,.元素的原像不一定是唯一的；映射的值域R，是Y的一个子集，即R,CY，不一定R，=Y例1设f:R→R,对每个ER，f(）=元.显然，f是个映射，f的定义域D,=值域R=1yly≥0，它是的一个真子集.对于R,中的元素，除.5
y=0外，它的原像不是唯一的.如y=4的原像就有=2和=-2两个，例2设=1()+=1(,0)l|≤1,f:-对每个（r，y）EX，有唯一确定的（r，0)EY与之对应.显然f是一个映射，f的定义域D,=X，值域R，=Y.在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到3轴的区间[-1，1上例3设f[-号，]→[-1,1],对每个[-],F(α)=sin.z.这2.2F是一个映射,其定义域D,=[一号·号]、值域R,=[-1,1]。设f是从集合X到集合Y的映射，若R，-Y，即Y中任一元素都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元素≠x2，它们的像f）≠f（z）,则称f为X到Y的单射：若映射f既是单射，又是满射，则称了为一一映射（或双射）上面例1中的映射，既非单射，又非满射；例2中的映射不是单射，是满射；例3中的映射，既是单射，又是满射，因此是一一映射映射又称为算子.根据集合X、Y的不同情形，在不同的数学分支中，映射又有不同的惯用名称.例如，从非空集X到数集Y的映射又称为X上的泛函，从非空集X到它自身的映射又称为X上的变换，从实数集（或其子集）X到实数集Y的映射通常称为定义在X上的函数2.逆映射与复合映射设f是X到Y的单射，则由定义，对每个yER，，有唯一的EX，适合f(r）=y.于是，我们可定义一个从R，到X的新映射g，即g:R,X,对每个yER，规定gy）=，这满足f(）=y.这个映射g称为f的逆映射，记作f",其定义域D,-1=R,，值域R,-1=X按上述定义，只有单射才存在逆映射.所以，在例1,2，3中，只有例3中的映射f才存在逆映射-1，这个-就是反正弦函数的主值：f-(a)=arcsinx,zE[-1,1],元北其定义域D,-1=[-1,1],值域R,-1=」[-2'2]设有两个映射f:Y,→Z.g:X→Yi，其中Y,CY2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，它将每个工EX映成fLg（）]EZ.显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，这个映射称为映射g和f构成的复合映射，记作f。g，即.6.-
f'g:X→Z,(fog)(r)=f[g(1)l,rEX.由复合映射的定义可知，映射g和f构成复合映射的条件是：g的值域R必须包含在丁的定义域内，即R，CD否则，不能构成复合映射.由此可以知道，映射g和f的复合是有顺序的，fg有意义并不表示gf也有意义.即使f.g与gf都有意义，复合映射f.g与gf也未必相同例4设有映射g:R-［-1,1],对每个ER,g(=sin,映射f:[-1,1]→[0,1],对每个uE【-1,1],f(u)=V1-u.则映射g和f 构成的复合映射f"g:R→[0,1],对每个rER,有(fog)()= Jlg())=f(sin )=/1-sin=Icos l三、函数1.函数概念定义设数集DCR，则称映射f：DR为定义在D上的函数，通常简记为y=f(),ED,其中r称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D,，即D,=D函数定义中，对每个工ED，按对应法则f，总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在处的函数值，记作f（），即=f（）.因变量与白变量之间的这种依赖关系，通常称为函数关系函数值F（x）的全体所构成的集合称为函数」的值域，记作R，或f(D)，即R, = f(D)= iyly=f(r),rEDi.需要指出，按照上述定义，记号和（）的含义是有区别的：前者表示自变量和因变量之间的对应法则，而后者表示与自变量对应的函数值.但为了叙述方便，习惯上常用记号"f(），ED"或“=），ED"来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数f表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可用其他的英文学母或希腊字母，如“g”、“F”“”等.相应地，函数可记作y-g（），y=F（α），y=（）等.有时还直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作=（）.但在同一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需用不同的记号来表示它们函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是：定义域D，及对应法则F.如果两个函数的定义域相同，对应法则也相向，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的.7.?