沈阳师范大学：《概率论与数理统计》课程教学课件（讲稿）第三章 随机变量及其分布 3.5 随机变量的独立性

43.5 二维随机变量的独立性一、二维随机变量的独立性二、推广沈阳师范大学

一、二维随机变量的独立性 二、推广 3.5 二维随机变量的独立性

-随机变量的相互独立性一、1.定义设F(x,y)及Fx(x),F(y)分别是二维随机变量(X,Y)的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,J有P(X ≤x,Y≤ y) = P(X≤x)P(Y≤y)即F(x,y) = Fx(x)Fr(y),则称随机变量X和Y是相互独立的沈阳师范大学

. ( , ) ( ) ( ), { , } { } { }, ( , ) . , ( , ) ( ), ( ) 则称随机变量 和 是相互独立的 即 有 的分布函数及边缘分布函数 若对于所有 设 及 分别是二维随机变量 X Y F x y F x F y P X x Y y P X x P Y y X Y x y F x y F x F y X Y X Y =   =   一、随机变量的相互独立性 1.定义

H2.结论(1)若离散型随机变量（X,Y)的联合分布律为P(X = x,Y= y,}= pj, i, j=1,2,...X和Y相互独立P(X = x,Y = y;} = P(X = x;}P(Y = y,}即 Pi; = Pi.P.j沈阳师范大学

 { , } { } { } , i j i j P X = x Y = y = P X = x P Y = y X 和 Y 相互独立 2.结论 (1) 若离散型随机变量 ( X,Y )的联合分布律为 P{X = x ,Y = y } = p , i, j =1,2,  . i j i j . pij pi• p• j 即 = 

1例1 设(X,Y的联合分布列如下，试判断X与Y是否相互独立解Y1 3Pi. = P(X = x;)2X0.610.030.250.330.390.120.07 0.21P., = P(Y = y,}0.150.320.53沈阳师范大学

X Y 1 2 3 0.03 1 0 { } i i p = P X = x • { } j j p = P Y = y • 解 0.61 0.39 0.15 1 0.53 0.250.33 0.120.07 0.2 0.32 例1 设(X,Y)的联合分布列如下,试判断X与Y 是否相互独立

(2)设连续型随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x,y),边缘概率密度分别为fx(x),f,(y),则有X 和Y相互独立台f(x,y)= fx(x)fy(y)沈阳师范大学

 f ( x, y ) f ( x ) f ( y ) . X 和 Y 相互独立 = X Y 边缘概率密度分别为 则有 设连续型随机变量 的联合概率密度为 ( , ), ( ), ( ), (2) ( , ) f x y f x f y X Y X Y