Ix+0,xsin在x= 0例1 试证函数f(x)=x0,x= 0,处连续。1证 lim x sin= = 0,x-→>0x又f(0)=0,lim f(x) = f(0),x-0由定义2知函数f(x)在x=0处连续
例1 . 0 0, 0, , 0, 1 sin ( ) 处连续 试证函数 在 x x x x x f x 证 0 1 lim sin 0, x x x 又 f (0) 0, 由定义2知 函数 f (x)在 x 0处连续. lim ( ) (0), 0 f x f x
3.单侧连续如果 lim f(x)=f(x)存在且等于f(x,)，即x-→xof(x) = f(x)就称函数f(x)在点x,左连续如果 lim f(x)=f(xt)存在且等于f(xo)，即x→xof(xt)= f(x,)就称函数f(x)在点x右连续定理函数f(x)在x,处连续台是函数f(x)在x酒处既左连续又右连续
3.单侧连续 0 0 ( ) ( ) . 函数 f x x f x x 在 处连续 是函数 在 处既左连续 定 又右连续 理 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . x x x x f x f x f x f x f x f x x f x f x f x f x f x f x x 如果 存在且等于 ，即 就称函数 在点 ； 如果 存在且等于 ，即 就称函数 在点 左连续 右连续
x+2, x≥0.在x=0处的例2 讨论函数 f(x)=x-2, x<0,连续性。解 lim f(x) = lim(x +2) = 2= f(0)x-→0+x-→0+lim f(x) = lim(x -2)= -2± f(0),X-0x-0右连续但不左连续，故函数f(x)在点x=0处不连续
例2 . 0 2, 0, 2, 0, ( ) 连续性 讨论函数 在 处 的 x x x x x f x 解 lim ( ) lim( 2) 0 0 f x x x x 2 f (0), lim ( ) lim( 2) 0 0 f x x x x 2 f (0), 右连续但不左连续 , 故函数 f (x)在点x 0处不连续
4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数，叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续如果函数在开区间(a,b)内连续，并且在左端点x=a处右连续，在右端点x=b处左连续，则称函数f(x)在闭区间[a,bl上连续连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线例如,有理函数在区间(一80,+8)内是连续的
4.连续函数与连续区间 在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上 的连续函数,或者说函数在该区间上连续. ( ) [ , ] . , , ( , ) , 函 数 在闭区间 上连续 处右连续 在右端点 处左连续 则 称 如果函数在开区间 内连续 并且在左端点 f x a b x a x b a b 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线. 例如, 有理函数在区间( , )内是连续的
例3 证明函数 y= sinx在区间(-o0,+oo)内连续证任取x E (-0,+0),ArArAy = sin(x + △x)- sin x = 2sincos(x +22AxAr≤1, 则|Ay|≤ 2sincos(x+22对任意的α,当α0时，有sinα<α,Ar故Ay≤2sin<[Ax, : 当△x →0时,Ay → 0.2即函数y= sinx对任意xE(-o0,+oo)都是连续的
例 3 证 明函 数 y sin x在区间( , )内连续. 证 任取 x (,), y sin( x x) sin x ) 2 cos( 2 2sin x x x cos( ) 1, 2x x . 2 2sin x y 则 对任 意 的 , 0 , 当 时 有 sin , , 2 2sin x x y 故 当x 0时,y 0. 即函 数 y sin x对任意 x ( , )都是连续的