以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： (1)已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. (讨论旋转曲面) (2)已知坐标间的关系式，研究曲面形状， (讨论柱面、二次曲面)
以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题： （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状． （讨论旋转曲面） （讨论柱面、二次曲面） （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程．
二、旋转曲面 定义以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为旋 转曲面。 这条定直线叫旋转 曲面的轴. 播放
二、旋转曲面 定义 以一条平面 曲线绕其平面上的 一条直线旋转一周 所成的曲面称为 旋 转曲面 . 这条定直线叫旋转 曲面的 轴 ． 播放
来求y0z坐标面上的已知曲线C:f(y,z)=0 绕z轴旋转一周的旋转曲面方程. 设M(x,y,z)是曲面上任意一点， M是由曲线C上的点M1(0,y1,z1) M1(0,y1,z1) M 旋转而来，可得 f(y,z)=0 (1)7=1 (2)点M到z轴的距离 d=vx2+y2=yl 将z=1,1=±Vx2+y2代入 f(1,31)=0
x o z y f ( y,z) 0 (0, , ) 1 1 1 M y z M 1 (1) z z （2） 点M 到z轴的距离 | | 1 2 2 d x y y 将 代入 2 2 1 1 z z , y x y ( , ) 0 f y1 z1 d 来 求 yoz坐标面上的已知曲线 C: f ( y,z) 0 绕z轴旋转一周的旋转曲面方程. 设 M x y z ( , , ) , 是曲面上任意一点 1 1 1 M C M y z 是由曲线 上的点 (0, , ) 旋转而来,可得
将z=z1,1=±Vx2+y2代入f(y1,乙1)=0 得方程f±x2+只，z=0, 同理：Jy0z坐标面上的已知曲线f(y,z)=0 绕y轴旋转一周的旋转曲面方程为 fy,±x2+z2)=0
将 代入 2 2 1 1 z z , y x y ( , ) 0 f y1 z1 , 0, 2 2 得方程 f x y z 同理： yoz坐标面上的已知曲线 f ( y,z) 0 绕 y轴旋转一周的旋转曲面方程为 , 0. 2 2 f y x z
总之，位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个坐标轴转动，所成的旋转曲面方程可以 这样得到： 曲线方程中与旋转轴相同的变量不动， 而用另两个的变量的平方和的平方根（加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可
曲线方程中与旋转轴相同的变量不动, 总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的 一个 坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以 这样得到 : 而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、 负号)替代曲线方程中另一个变量即可