第三节 第八章 平面及其方程 平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角
一、平面的点法式方程 二、平面的一般方程 三、两平面的夹角 平面及其方程 第八章
曲面方程的概念 引例：求到两定点4A(1,2,3)和B(2,-1,4)等距离的点的 轨迹方程. 解：设轨迹上的动点为M(x,y,z),则AM=BM,即 V(x-1)2+(y-2)2+(z-3)2 =V(x-2)2+(y+1)2+(z-4) 化简得2x-6y+2z-7=0 说明：动点轨迹为线段AB的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程， 不在此平面上的点的坐标不满足此方程
求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 2 2 2 (x 1) ( y 2) (z 3) 化简得 2x 6y 2z 7 0 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 2 2 2 (x 2) ( y 1) (z 4) 解:设轨迹上的动点为M (x, y,z),则 AM BM , 轨迹方程
定义 如果曲面S与方程F(x,yz)=0有下述关系 (1)曲面S上的任意点的坐标都满足此方程， (2)不在曲面S上的点的坐标不满足此方程」 则F(x,yz)=0叫做曲面S的方程 F(x,y,2)=0 曲面S叫做方程F(x,yz)=0的图形 两个基本问题： 1)） 已知一曲面作为点的几何轨迹时 求曲面方程 (2)已知方程时，研究它所表示的几何形状 (必要时需作图)
定义 F(x, y,z) 0 S z y x o 如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系: (1) 曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程; 则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的图形. 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, (2) 不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 ( 必要时需作图 )
一、平面的点法式方程 设一平面通过已知点M(x0,yo,2o)且垂直于非零向 量=(A,B,C),求该平面Π的方程 任取点M(x,y,)∈卫，则有 MoM Ln 故 MoM.n=0 M0M=(x-0,y-0,2-20） 4(x-xo)+B(y-yo)+C(2-20)=0 称①式为平面Π的点法式方程，称为平面Ⅱ的法线向量
z y x o M0 n ① 一、平面的点法式方程 ( , , ) 0 0 0 0 设一平面通过已知点 M x y z 且垂直于非零向 ( ) ( ) ( ) 0 A x x0 B y y0 C z z0 M 称①式为平面的点法式方程, 求该平面的方程. 任取点M (x, y,z), ( , , ) 0 0 0 x x y y z z 法线向量 量 n (A , B, C), M M n 0 0 M0M n M0M 则有 故 称 n 为平面 的
例1.求过三点M1(2,-1,4),M2(-1,3,-2),M3(0,2,3) 的平面Π的方程 解：取该平面江的法向量为 n=MM2×M1M3 M3 =-34-6 -23-1 =(14,9,-1) 又M,利用点法式得平面Π的方程 14(x>2)+9(y+1)-(2-4)=0 即 14x+9y-2-15=0
i j k 例1 , 又M1 (14, 9, 1) 14(x 2) 9( y 1) (z 4) 0 即 14x 9y z 15 0 M1 M2 M3 解: 取该平面 的法向量为 ( 2, 1,4), ( 1,3, 2), M1 M2 (0,2,3) M3 的平面 的方程. 利用点法式得平面 的方程 3 4 6 2 3 1 n n M1M2 M1M3