第七节 第八章 方向导数写梯煮 一、 方向导数 二、 梯度 三、物理意义 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第八章 第七节 一、方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、梯度 三、物理意义 方向导数与梯度
一、方向导数 定义：若函数f(x1.在点P(x,1.二)处 沿方向1方向角为☑，B.)存在下列极限 A P(x.=） 》-→0 lim /(r+△1+.+⊥)-f(.1X.)记作0/ 3→0 p 1 p=V(△N)+(△)+（△） Ax=pcosa.Ar=pcos B:A==pcos; 则称 为函数在点P处沿方向1的方向导数 HIGH EDUCATION PRESS D0C08 机动目录上页下页返回结束
一、方向导数 定义: 若函数 则称 为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数. 在点 处 沿方向 l (方向角为 ) 存在下列极限: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 记作
定理：若函数f(x.)在点P(x,)处可微 则函数在该点沿任意方向1的方向导数存在，且有 ef _Efcosa+ c1 ex 其中☑，B.为1的方向自 证明由函数f(x,)在点P可微，得 P(x.1.=〉 C T =0 0cosy+o(P列 故 1im cosa+ el 2→0D HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
定理: 则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 , 证明: 由函数 且有 在点 P 可微 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 故
对于二元函数f(xy).在点P(x.y处沿方向1（方向角 为a,B)的方向导数为 =1imr+△y+△-/x2 el 2→0 P f(x.r)cosa+f(x.r)cosB (p=/(△ry2+(A)2.△r=pcos,△=peos B) 特别： ·当1与x轴同向=0乃=)时有 ·当1与x轴反向(a=x乃=时有 el HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
机动 目录 上页 下页 返回 结束 对于二元函数 为, ) 的方向导数为 特别: • 当 l 与 x 轴同向 • 当 l 与 x 轴反向 向角
例1.求函数=x2:在点P1,1,1)沿向量7=(2.-1 3)的方向导数 解：向量1的方向余弦为 2 -1 3 C0SC☑= 14 14 14 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量 3) 的方向导数 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 向量 l 的方向余弦为