第节 第九章 多无品数的救值及其求法 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数的极值及其求法
一、多元函数的极值 定义：若函数：=f(x,r)在点(a,6)的某邻域内有 f(x.1)≤f(0.1a)(或f(x.1)≥f(0.10)》 则称函数在该点取得极大值（极小值）.极大值和极小值 统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点 例如： :=3x2+42在点(0,0)有极小值 :=+1在点(0,0)有极大值 二=x1在点(0,0)无极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值(极小值). 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某邻域内有 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理1（必要条件）函数：=fx,)在点(。)存在 偏导数，且在该点取得极值，则有 f(xo0)=0.(0-o)=0 证：因：=f(x,y)在点(x016)取得极值，故 =f(x,6)在x=xo取得极值 三=(1")在=10取得极值 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立 说明：使偏导数都为0的点称为驻点 但驻点不一定是极值点 例如，三=x有驻点(0,0)，但在该点不取极值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上页下页返回结束
说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 机动 目录 上页 下页 返回 结束
定理2（充分条件）若函数：=f(x.1)在点(.10)的 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数，且 fx(0:%）=0.f(xoro)=0 令A=f(0a).B=(xoo).C=f(0o） A<0时取极大值 则：1)当.1C-B2>0时，具有极值 A>0时取极小值 2)当.1C-B2<0时，没有极值 3)当.1C-B=0时，不能确定，需另行讨论 证明见第九节P122) HIGH EDUCATION PRESS D0C8 机动目录上页下页返回结束
时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 且 令 则: 1) 当 A<0 时取极大值; A>0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P122) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束
例1.求函数f(x,)=x3-13+32+312-9x的极值， 解：第一步求驻点： f(1）=3x-+6x-9=0 解方程组 f(.)=-31-+61=0 得驻点：(1,0)，(1,2)，(-3,0)，-3,2) 第二步判别.求二阶偏导数 B /()=6x+6.f(y)=0./(,1)=-6+6 在点(1,0)处1=12.B=0.C=6 1C-B=12x6>0.1>0 .f(1.0)=-5为极小值 HIGH EDUCATION PRESS 机动目 页下页返回结束
例1. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束