§6实对称矩阵的标准形 、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题
1 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题
、实对称矩阵的一些性质 引理1设是实对称矩阵,则A的特征值皆为实数 证:设是A的任意一个特征值,则有非零向量 满足A5=An9
2 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 1 2 n x x x = 证：设 0 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 0 A =
x1 X2 其中x;为x的共轭复数 又由A实对称,有A=A,A=A,A5=A5 55=(10)=(44)=(5A) =(A)=(45)5=(A4) =(415)5=(05)6=05
3 A A A A = = , , 其中 x x i 为 i 的共轭复数， 1 2 , n x x x = 令 0 ( ) A = = ( ) A 又由A实对称，有 ( ) 0 = A A = ( ) A ( ) 0 = = ( ) A = = ( ) A 0 = ( ) 0 =
考察等式,A055=055 由于5是非零复向量,必有 55=x1x1+x2x2+…+xnxn≠0 故A0=λa A∈R
4 1 2 1 2 n 0 n x x x x x x = + + + 由于 是非零复向量，必有 故 0 0 = . 0 R. 考察等式， 0 0 =
引理2设A是实对称矩阵,在n维欧氏空间R上 定义一个线性变换σ如下: o(a)=Aa,Va∈R 则对任意a,B∈R,有 (a(a),B)=(a,a(B) 或 B(Aa =a(AB)
5 引理2 设A是实对称矩阵，在n维欧氏空间 上 n R ( ) , n = A R 定义一个线性变换 如下： ( ( ), , ( ) , ) = ( ) 则对任意 , , R n 有 或 ( ) ( ). A A =