§4正交变换 般欧氏空间中的正交变换 二、n维欧氏空间中的正交变换
1 一、一般欧氏空间中的正交变换 二、n维欧氏空间中的正交变换
、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 欧氏空间ⅴ的线性变换σ如果保持向量的内积不变, (o(a),o(B))=(a, B),Va, BEV 则称为正交变换 注:欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广
2 一、一般欧氏空间中的正交变换 1.定义 即 ， ( ( ), ( ) ( , ), ) = , V 欧氏空间V的线性变换 如果保持向量的内积不变， 则称 为正交变换. 注：欧氏空间中的正交变换是几何空间中保持长度 不变的正交变换的推广
2.欧氏空间中的正交变换的刻划 (定理4)设σ是欧氏空间Ⅴ的一个线性变换 下述命题是等价的: 1)σ是正交变换; 2)σ保持向量长度不变,即 o( a va∈v; 3)σ保持向量间的距离不变,即 d( o(a), o(B)=d(a,B), Va, BEV
3 2.欧氏空间中的正交变换的刻划 下述命题是等价的： （定理4）设 是欧氏空间V的一个线性变换. d d V ( ( ), ( ) , , , ) = ( ) 3） 保持向量间的距离不变，即 2） 保持向量长度不变，即 1） 是正交变换； ( ) , ; = V
证明:首先证明1)与2)等价 1)→2):若σ是正交变换,则 (a(a)a(a)=(a,a,va∈V 即,a(a)2=al 两边开方得,o(a)=al,va∈V, 2)→1)若σ保持向量长度不变,则对a,B∈ 有(Gσ(a,a(a)=(ar,a), ((,o()=(,B) (2)
4 证明：首先证明1)与2)等价． 1) 2) : 即， 2 2 ( ) = ( ( ), ( ) ( , ), ) = V 两边开方得， ( ) , , = V 若 是正交变换，则 2) 1) : 有 ( ( ), ( ) ( , ) ) = , (1) ( ( ), ( ) ( , ), ) = (2) 若 保持向量长度不变，则对 , V
(a(a+B,(a+B)=(a+,+B) (3) 把(3展开得, (a(a),o(a)+2(a(a),o(B)+(o(B)o(B) =(a,a)+2(a,B)+(,B) 再由(1)(2)即得, (a(a)o(B)=(a,B) σ是正交变换
5 把(3)展开得， ( ( ), ( ) 2 ( ), ( ) ( ), ( ) ) + + ( ) ( ) = + + ( , ) 2( , ) ( , ) 再由(1)(2)即得， ( ( ), ( ) ( , ) ) = ( ( ), ( ) ( , ), + + = + + ) (3) 是正交变换．