例4n元齐次线性方程组 u1X1+1X+ In 0 观L x7,+…+a,x,=0 22~2 n n (水 s2~2 +…+a.=0 sn 1 的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 量乘法构成的线性空间是n维向量空间P的一个子 空间,称W为方程组(*)的解空间 注①(大)的解空间w的维数=n-秩(A,A=(an)wm; ②()的一个基础解系就是解空间W的一组基
6 的全部解向量所成集合W对于通常的向量加法和数 ① (＊)的解空间W的维数＝n－秩(A)， A a = ( )ij s n ； 例4 n元齐次线性方程组 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 n n n n s s sn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x + + + = + + + = + + + = (＊) 注 ② (＊)的一个基础解系就是解空间W的一组基. 空间，称W为方程组(＊)的解空间． 量乘法构成的线性空间是n维向量空间Pn的一个子
例5设Ⅴ为数域P上的线性空间,a1,ax2,…,arn∈p 令W={a1+k2a2+…+k,ak∈P=1,2,…,n 则W关于V的运算作成的一个子空间 即1,a2,…,Crn的一切线性 组合所成集合
7 例5 设V为数域P上的线性空间， 1 2 , , , r V 1 1 2 2 { , 1,2, , } 令W k k k k P i r = + + + = r r i 则W关于V的运算作成V的一个子空间． 即 的一切线性 组合所成集合. 1 2 , , , r
二、一类重要的子空间 生成子空间 定义:V为数域P上的线性空间,a1,a2,…,r∈ 则子空间 W={k1a1+k2a2+…+k,ak∈P,i=1,2,…r 称为的由ax1,a2,…,a生成的子空间, 记作L(ax1,a2…,ar 称a1,a2,…,C为L(a1,a2,…,cn)的一组生成元
8 称为V的由 1 2 , , , r 生成的子空间， 二、一类重要的子空间 ——生成子空间 定义：V为数域P上的线性空间， 则子空间 1 2 , , , r V ， 1 1 2 2 { , 1,2, , } W k k k k P i r = + + + = r r i 记作 L( , , , ) 1 2 r ． 称 1 2 为 的一组 生成元. , , , r 1 2 ( , , , ) L r
例6在P中 (0,…,0,1,0…,0),i=1,2,…,n 为P的一组基,Va=(a1,a2,…,an)∈P 有 c=a11+a2E2+… 事实上,任一有限 故有P=L,62,…,8n)维线性空间都可由 即Pn由它的一组基生成 它的一组基生成 类似地,还有 PlxL,=l(l,,x,,x' 十a1x+…+anx t091 ∈P}
9 例6 在Pn 中， 2 1 [ ] (1, , , , ) n P x L x x x n − = (0, ,0,1,0 ,0), 1,2, , i i = =i n 为Pn的一组基， 1 2 ( , , , ) n n = a a a P 1 1 2 2 n n 有 = + + + a a a 1 2 ( , , , ) n P L n 故有 = 即Pn 由它的一组基生成. 类似地，还有 1 0 1 1 0 1 1 , , , n n n a a x a x a a a P − = + + + − − 事实上，任一有限 维线性空间都可由 它的一组基生成