S.单扩域假定 E是域 F的扩域，而 α是E的一个元.要讨论单扩域F(α)的结构，我们把E的元分成两类.定义α叫做域F上的一个代数元，假如存在F的不都等于零的元α，αi，..，an，使得ao+a,α +.+a,α"=0
§．单扩域 假定 是域 的扩域，而 是 的一个元． 要讨论单扩域 的结构，我们把 的元分成两 类． E F E F( ) E 定义 叫做域 上的一个代数元，假如存在 的 不都等于零的元 ， ，.， ，使得 F F 0 a 1 a n a 1 0 1 a a + + 0 n n . + = a
假如这样的α，α，...，an不存在，α就叫做F上的一个超越元.若α是F上的一个代数元，F(α)就叫做F的一个单代数扩域；若α是F上的一个超越元F(α)就叫做 F 的一个单超越扩域单扩域的结构通过以下定理可以掌握定理1、若α是F上的一个超越元，那么的商域F(α)= F[x]这里F[x]是F上的一个未定元x的多项式环若α是F上的一个代数元，那么F(α) = F[x]/(p(x)
假如这样的 ， ，.， 不存在， 就叫做 上的 一个超越元．若 是 上的一个代数元， 就叫做 的一个单代数扩域；若 是 上的一个超越元， 0 a 1 a n a F F F( ) F F F( ) 就叫做 F 的一个单超越扩域． 单扩域的结构通过以下定理可以掌握 定理１ 若 是 上的一个超越元，那么 的商域 这里 是 上的一个未定元 的多项式环． 若 是 上的一个代数元，那么 F F F x ( ) [ ] F x[ ] F x F F F x p x ( ) [ ] ( ( ))
这里 p(x)是F[x的一个唯一的确定的、最高系数为 1 的不可约多项式，并且.p(α)=0证明F(α)包含 F 上的 α 的多项式环F[α]={一切Zaα，αF}我们知道,Eair-→Eaok是F上的未定元x的多项式环F[xl到F(α)的同态满射现在我们分两个情形来看
这里 是 的一个唯一的确定的、最高系数为１的不可 约多项式，并且． 证明 包含 上的 的多项式环 一切 ， 我们知道， p x( ) F x[ ] p( ) 0 = F( ) F F[ ] { = k k a } k a F k k k k a x a → 是 上的未定元 的多项式环 到 的同态满射， 现在我们分两个情形来看． F x F x[ ] F( )
情形1：α是F上的超越元这时以上映射是同构映射：F(α)= F[x]由Ⅲ，1 0，定理4，F[α]的商域=F[x] 的商域由Ⅲ，10，定理3，我们可以知道，(1)F[α] 的商域cF(α)另一方面，F[α] 的商域包含 F 也包含 α，因此，由 F(α)的定义F(α)c F[α] 的商域(2)
情形１． 是 上的超越元． 这时以上映射是同构 映射： 由Ⅲ，１０，定理４， 的商域 的商域 由Ⅲ，１０，定理３，我们可以知道， （１） 的商域 另一方面， 的商域包含 也包含 ，因此，由 的定义 （２） 的商域 F F F x ( ) [ ] F[ ] F x[ ] F[ ] F( ) F[ ] F F( ) F F ( ) [ ]
由（1）和（2）得的商域F(α)= F[α] F(α) = F[x] 因而的商域情形2：α是F上的代数元．这时F[α] = F[x]/A这里A是上述同态满射的核．由IV，4，定理3和定理1，F[刘]是一个主理想环，所以A =(p(x)F[x]的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而它们只能差一个单位因子
由（１）和（２）得 的商域 因而 的商域 F F ( ) [ ] = F( ) F x[ ] 情形２． 是 上的代数元．这时 这里 是上述同态满射的核．由Ⅳ，４，定理３和定 理１， 是一个主理想环，所以 的一个主理想的两个生成元能够互相整除，因而 它们只能差一个单位因子， F F F x [ ] [ ] A A F x[ ] A = ( ( )) p x F x[ ]