s 2.唯一分解环2.1定义与例子2.2等价条件2.3典型分解2.4最大公因子与互素
§2.唯一分解环 • 2.1 定义与例子 • 2.2 等价条件 • 2.3 典型分解 • 2.4 最大公因子与互素
2.1 定义与例子由于上一节的例我们知道，在一个整环单唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成立的
2.1 定义与例子 由于上一节的例我们知道，在一个整环里 唯一分解定理未必成立。但是我们也知道，在 有些整环里，比方说整数环里，这个定理是成 立的
定义1一个整环I叫做一个唯一分解环，假如I的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯一分解，即:（i）分解性.a既不等于零又不是单位的元a可以分解(p,是l素元)a=PiP2Pr（ii）唯一性若同时还有(q,是I素元a= 92--s那么Sr=q的次序掉换一下，使得并我们可以把9s是单位q,=P
定义1 一个整环 叫做一个唯一分解环，假 如 的每一个既不等于零又不是单位的元都有唯 一分解, 即: I I （ⅰ）分解性. a 既不等于零又不是单位的元a可 以分解 a p p p p I = 1 2 r i ( 是 素元) （ⅱ）唯一性. 若同时还有 a q q q q I = 1 2 s i ( 是 素元) 那么 r s = 并且我们可以把 qi 的次序掉换一下，使得 q p I i i i i = ( 是 单位)
例1.举正反例子例2.在唯一分解环I，每一个非零元a 的因子在相伴的意义下只有有限多个证明：(1)如果a是单位，那么，a的因子只有单位，所有单位都相伴的(??).因此,a的因子，在相伴的意义下只有一个，(2)如果a不是单位，a可以分解(p,是I素元)a=piP2pr
例1. 举正反例子 例2. 在唯一分解环 , 每一个非零元a 的因子, 在相伴的意义下只有有限多个. I 证明: (1) 如果a是单位, 那么, a 的因子只有单位, 所 有单位都相伴的(??). 因此, a 的因子, 在相伴的 意义下只有一个. (2) 如果a不是单位, a可以分解 a p p p p I = 1 2 r i ( 是 素元)
a的因子只有下面的形式：86pjopi,Pizpi,Pi,""Pji&piP2.pr不相伴因子总数不超过2"个说明：不同类因子不相伴，同类因子可能相伴
a 的因子只有下面的形式: 1 2 1 2 1 2 k j j j j j j r p p p p p p p p p 不相伴因子总数不超过 2 r 个 说明: 不同类因子不相伴, 同类因子可能相伴