S3.代数扩域上一节的结果告诉我们，把域F上一个超越元或一个代数元添加于F所得到的单扩域的结构完全不同我们有以下事实：设E是F的一个扩域，并且E含有F上的超越元．那么总存在E 的一个子域 T，FCTCE使得T是由添加F上的超越元于而得到的，而E只含T上的代数元。这一事实的证明已超出本书的范围．这个事实告诉我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一个代数的部分．我们以下将不再讨论超越的扩域，而只对代数的扩域作一些进一步的研究
§3.代数扩域 上一节的结果告诉我们，把域 上一个超越元或一个代数 元添加于 所得到的单扩域的结构完全不同． 我们有以下事实：设 是 的一个扩域，并且 含有 上的超越元．那么总存在 的一个子域 ， 使得 是由添加 上的超越元于而得到的，而 只含 上的代数元． F F E F E F E T F T E T F E T 这一事实的证明已超出本书的范围．这个事实告诉 我们，一个扩域可以分成两部分：一个超越的、一 个代数的部分．我们以下将不再讨论超越的扩域， 而只对代数的扩域作一些进一步的研究．
定义若域 F的一个扩域 E 的每一个元都是 F上的一个代数元，那么E叫做F的一个代数扩域（扩张）：我们首先提出以下问题：假定E=F(S）是添加集合 S与 F 域所得的扩域，并且 S的元都是 F上的代数元，那么E的元是否都是F上的代数元？为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念。假定E是域 F的一个扩域．那么对于 E的加法 F×E和到 E的乘法来说，E 作成 F上的一个向量空间E，或者有一个维数n，n是正整数；或者是一个无限维空间
， F E F E F 定义 若域 的一个扩域 的每一个元都是 上的一 个代数元，那么 叫做 的一个代数扩域（扩张）． E F S = ( ) S F S F E F 我们首先提出以下问题：假定 是添加集合 与 域所得的扩域，并且 的元都是 上的代数元，那 么 的元是否都是 上的代数元？ 为了解答这个问题，我们需要扩域的次数这一个概念． 假定 是域 的一个扩域．那么对于 的加法 和到 的乘法来说， 作成 上的一个向量空间 ，或 者有一个维数 ， 是正整数； 或者是一个无限维空间． E F E F E E E F E n n
定义若是域 F 的一个扩域E 作为 F上的向量空间有维数n，那么 n 叫做扩域 E在F上的次数，记做(E:F）：这时E叫做域F的一个有限扩域；否则E叫做域F的一个无限扩域.关于扩域的次数我们有重要的定理1令Ｉ是域 F的有限扩域，而 E是 Ｉ的有限扩域那么E也是F的有限扩域，并且(E: F)=(E: I)(I: F)
定义 若是域 的一个扩域 作为 上的向量空间 有维数 ，那么 叫做扩域 在 上的次数，记 做 ．这时 叫做域 的一个有限扩域；否则 叫做域 的一个无限扩域． F E F n n E F ( : ) E F E F E F 关于扩域的次数我们有重要的 I F E I E F ( : ) ( : )( : ) E F E I I F = 定理１ 令 是域 的有限扩域，而 是 的有限 扩域．那么 也是 的有限扩域，并且
证明设(I:F)=r，(E:I)=s，而αi，α2，.….，α,是向量空间I在域F上的一个基，β，β，..，β，是向量空间 E 在域 I 上的一个基.看 E 的元 α,β,(i=l,2,...,r; j=l,2,...,s)我们只须证明，这rs个元是向量空间E在域F上的一个基．设Za,α,β,=0 (a, eF)i,J那么E(Ea,α,)β,=0, Ea,α,e1
证明 设 ， ，而 ， ，. ， 是向量 空间 在域 上的一个基， ， ，.， 是向量空 间 在域 上的一个基．看 的元 （ １，２，.， ； １，２，.， ） ( : ) I F r = ( : ) E I s = 1 2 r I F 1 2 s E I E i j i = r j = s 我们只须证明，这 个元是向量空间 在域 上的 一个基．设 那么 ， rs E F , 0 ij i j i j a = ( ) ij a F ( ) 0 ij i j j i a = ij i i a I
由β于对于I来说线形无关，我们得Za,α,=0(i=l,2，...,s)但 α对于F来说线形无关，因而a,=0 (i=l,2,...,r;j=l,2,...,s)这就是说，以上 rs 的个 E的元 α,β,对于 F来说线形无关．现在假定の是E的一个任意元．因为 β，是1上的E的一个基，0=o,β,i (0,el)
由 于对于 来说线形无关，我们得 （ １，２，.， ） j I 0 ij i i a = i = s 但 对于 来说线形无关，因而 （ １，２，.， ； １，２，.，） i F 0 ij a = i = r j = s 这就是说，以上 的个 的元 对于 来说线形 无关．现在假定 是 的一个任意元．因为 是 上的 的一个基， rs E i j F E j I E j j j = ( ) j I