s5.有限域我们要讨论的第一中特殊类型的域是有限域。有限域在实验设计和编程理论中都有应用定义一个只有限个元素的域叫做一个有限域例如，特征是p的素域就是一个有限域先看一看，一个有限域应该有什么性质定理1一个有限域E有p"一元素，这单p是E的特征而n是E在它的素域△上的次数
§5.有限域 我们要讨论的第一中特殊类型的域是有限域。有 限域在实验设计和编程理论中都有应用。 定义 一个只有限个元素的域叫做一个有限域。 例如，特征是p的素域就是一个有限域。 先看一看，一个有限域应该有什么性质。 n 定理 1 一个有限域E有 p 一元素，这里p是E的特征 而n是E在它的素域△上的次数
证明E的特征一定是一个素数p，不然的话，E所含的素域已经有无限多个元，而E不可能是一个有限域把E所含的素域记作△。因为E只含有限个元，所以它一定是△的一个有限扩域而（E:△)=n。这样，E的每一个元可以唯一地写成aa+a,α,+...+anα的形式，这里a,E△，而αi,α2,α是向量空间E在△上的一个基。由于△只有p个元，所以对于每一个α,有p种选择法，因而E一共有个p"元。证完
证明 E的特征一定是一个素数p，不然的话，E所含 的素域已经有无限多个元，而E不可能是一个有限域。 把E所含的素域记作△。因为E只含有限个元，所以 它一定是△的一个有限扩域而 。这样，E的每 一个元可以唯一地写成 的形式，这里 ，而 是向量空间E在△ 上的一个基。由于△只有p个元，所以对于每一个 有 p种选择法，因而E一共有个 元。证完。 (E n : =) 1 1 2 2 n n a a a + + + i a 1 2 , , , n i a n p
定理2令有限域E的特征是素数p，E所含素域是△，而E有个q=p"元。那么E是多项式x1-x在^上的分裂域。任何两个这样的域都同构。证明E的不等于零的元对于乘法来说，作成一个群这个群的阶是q-1，单位元是1。所以αq-1 =1,αE,α0由于09=0，所以有α=α, αEE因此，用αi,α2,α。来表示E的元，在E里多项式x -x=(x-a,)i=l
定理 2 令有限域E的特征是素数p，E所含素域是 △，而E有个 元。那么E是多项式 在△上的分裂域。任何两个这样的域都同构。 n q p = q x x − 证明 E的不等于零的元对于乘法来说，作成一个群。 这个群的阶是 ，单位元是1。所以 由于 ，所以有 因此，用 来表示E的元，在E里多项式 q −1 1 1, , 0 q E − = 0 0 q = , q = E 1 2 , , , q ( ) 1 q q i i x x x a = − = −
而且显然E=A(αi,α2,"",α.这样，E是多项式x9一x在△上的分裂域但特征为p的素域都同构，而多项式x一x在同构的域上的分裂域也同构，所以任何有p”个元素的有限域都同构。证完
而且显然 这样，E是多项式 在△上的分裂域。 但特征为p的素域都同构，而多项式 在同构的 域上的分裂域也同构，所以任何有 个元素的有限域 都同构。证完。 E = ( 1 2 , , , q ) q x x − q x x − n p
现在我们证明有限域的存在定理 3 令△是特征为p的素域，而 q=p"(n≥l)。那么多项式x-x在^上的分裂域E是一个有g个元的有限域。证明 E=△(αi,αz,,α)，这里 α, 是 f(μ)=x-x在域E里的根。由于E的特征是p，f(x)的导数f(x)= p"xq-1 -1=-1所以f(x)与f'(x)互素。这样，由IV，6，推论2，f(x)的q个根都不相同。我们断言，f(x)的这q个根作成E的一个子域E,。这是因为，由Ⅲ，4
现在我们证明有限域的存在。 定理 3 令△是特征为p的素域，而 。那么 多项式 在△上的分裂域E是一个有q个元的有限 域。 ( 1) n q p n = q x x − 证明 ，这里 是 在域E里 的根。由于E的特征是p， 的导数 所以 与 互素。这样，由Ⅳ，6，推论2， 的q 个根都不相同。 我们断言， 的这q个根作成E的一个子域 。这 是因为，由Ⅲ，4， E = ( 1 2 , , , q ) i a ( ) q f x x x = − f x( ) ( ) 1 1 1 n q f x p x − = − = − f x( ) f x ( ) f x( ) f x( ) E1