S7理想 7.1定义及例子7.2理想的交与和7.3除环的理想7.4生成理想
§7 理想 • 7.1 定义及例子 • 7.2 理想的交与和 • 7.3 除环的理想 • 7.4 生成理想
7.1 定义及例子在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子环，就是理想子环,简称为理想(ldeal).理想在环论单的地位同不变子群在群论单的地位类似定义环R的一个非空子集叫做{一个理想子环假如简称理想，(i) a,beI=a-bEl(ii)ael, reR=ra, arel（强闭合性）
7.1 定义及例子 在这一节里我们要讨论到一种特别重要的子 环，就是理想子环,简称为理想(Ideal). 理想在环论 里的地位同不变子群在群论里的地位类似。 定义 环R的一个非空子集I叫做一个理想子环， 简称理想，假如 （ⅰ） （ⅱ） (强闭合性) a b I a b I , − a I r R ra ar I ,
注1：理想一定是一个子环，由（i），一个理想A是一个加群，由于（ii）I对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个子环。但（ii）不仅要求的两个元的乘积必须A在A里，而且进一步要求，A、在一个任意元同R的一个任意元的乘积都必须在，里，所以称为强闭合性。注2:心可以义翌(若)理想，113,爸注3：一个环R至少有以下两个理想：1.只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想：2.R自己，这个理想叫做R的单位理想两个通称为平凡理想
注1：理想一定是一个子环. 由（ⅰ），一个理想 是一个加群，由于（ⅱ）， 对于乘法来说是闭的，所以一个理想一定是一个 子环。但（ⅱ）不仅要求 的两个元的乘积必须 在 里，而且进一步要求， 在一个任意元同R的一个 任意元的乘积都必须在 里,所以称为强闭合性。 A I I A A A 注2：可以定义左(右)理想, p113, ex6. 注3：一个环R至少有以下两个理想： 1. 只包含零元的集合，这个理想叫做R的零理想； 2. R自己，这个理想叫做R的单位理想。 两个通称为平凡理想
我们举两个例。例1看整数环R。那么一个整数 n≠0，n的所有倍数 rn(rER)作成一个理想。例 2 看一个环R一元多项式环 R[xl。那么所有多项式ax+aax?+.+a,x"(n≥1)作成R[xl的一个理想
我们举两个例。 例 1 看整数环R。那么一个整数 ，n的所有 倍数 作成一个理想。 n 0 rn r R ( ) 例 2 看一个环R一元多项式环 。那么所有多 项式 作成 的一个理想。 R x ( ) 2 1 2 1 n n a x a x a x n + + + R x
7.2 理想的交与和命题1设11是R的两个理想,那么()InI仍然是理想(i),+= αa,)仍然是理想,称为和注4：I,UI2一般不是理想.I,+I2是包含I,UI,的最小理想
7.2 理想的交与和 命题1 设 是R的两个理想,那么 (i) 仍然是理想 (ii) 仍然是理想, 称为和. 1 2 I I, 1 2 I I 1 2 1 2 1 1 2 2 I I a a a I a I + = + { , } 注4： 一般不是理想. 是包含 的最小 理想. 1 2 I I 1 2 I I + 1 2 I I