第五章扩域在这一章里我们要对于域作一些进一步的讨论：我们不准备证明一些复杂的结构定理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项式的分裂域、有限域和可离扩域作一些讨论
在这一章里我们要对于域作一些进一步的 讨论．我们不准备证明一些复杂的结构定 理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项 式的分裂域、有限域和可离扩域作一些讨 论． 第五章 扩域
这就有如何选择域的F问题．我们有以下事实定理1令 E是一个域．若 E的特征是，那么E含有一个与有理数域同构的子域；若 E的特征是素数 p，那么 E含有一个与R/(p)同构的子域，这里 R是整数环，（p）是由 P生成的主理想
F 定理１ 令 是一个域．若 的特征是 ，那 么 含有一个与有理数域同构的子域；若 的 特征是素数 ，那么 含有一个与 同构的 子域，这里 是整数环， 是由 生成的主 理想． E E E E p E R p( ) R ( ) p p 这就有如何选择域的 问题．我们有以下事实
S1：扩域、素域我们先说明一下，研究域所用的方法，定义一个域E叫做一个域F的扩域（扩张），假如F是 E的子域.我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的，而复数域是在它的子域实数域上建立起来的：研究域的方法就是：从一个给定的域F出发，来研究它的括域
§１．扩域、素域 我们先说明一下，研究域所用的方法． 定义 一个域 叫做一个域 的扩域（扩张），假如 是 的子域． 我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的， 而复数域是在它的子域实数域上建立起来的．研究域的方 法就是：从一个给定的域 出发，来研究它的括域． E F F E F
证明域E包含一个单位元e.因此E也包含所有ne( n是整数）：令R是所有 ne：作成的集合．那么dn>ne显然是整数环R到R的一个同态满射情形1：E的特征是0．这时是一个同构映射：R=RΦ:但E包含R的商域’：由Ⅲ，10，定理4，F与R的商域，也就是有理数域同构
： 证明 域 包含一个单位元 ．因此 也包含所有 （ 是整数）．令 是所有 ． 作成的集 合．那么 显然是整数环 到 的一个同态满射． 情形１． 的特征是 ．这时是一个同构映射： E e E ne n ' R ne n ne → R ' R E ： ' ： R R 但 包含 的商域 ．由Ⅲ，10，定理 4， 与 的商域，也就是有理数域同构． E ' R ' F ' F R
情形2.E的特征是素数P．这时R/A = R'此处A是Φ的核.但p→pe=0所以 pEA，因而(p)eA．由IV，3，引理2,(p)是一个最大理想
情形2． 的特征是素数 ．这时 此处 是 的核．但 所以 ，因而 ．由Ⅳ，３，引理２， 是一个最大理想． E p ' R R A A p pe → = 0 p A ( ) p A ( ) p