84.多项式的分解域我们都知道所谓代数基本定理是什么。这个定理告诉我们，复数域C上一元多项式环C[xl的每一个n次多项式在C里有n个根，换一句话说，C[x]的每一个多项式在Cx里都能分解为一次因子的乘积。若是一个域E上的一元多项式环E[xl的每一个多项式在Exl里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再有真正的代数扩域。这样的一个域叫做代数闭域
§4.多项式的分解域 我们都知道 所谓代数基本定理是什么。这个定理告 诉我们，复数域C上一元多项式环 的每一个n次多 项式在C里有n个根，换一句话说， 的每一个多项式 在 里都能分解为一次因子的乘积。 C x C x C x 若是一个域E上的一元多项式环 的每一个多项式 在 里都能分解为一次因子的乘积，那么E显然不再 有真正的代数扩域。这样的一个域叫做代数闭域。 E x E x
我们有以下事实：对于每一个域F都存在F的代数扩域E，而E是代数闭域这一事实的证明也超出本书范围。但分裂的理论可以在一定意义下离补这一个缺陷。定义Fxl的n次多项式(x）域F的一个扩域E叫做在F上的一个分裂域（或根域），假如（有时简称在E里）f（x）可以分解为（i）在E里次因子的积：(α, EE)f(x)=a, (x-α)(x-α)...(x-αn)（ii）在一个小于E的中间域 I(FcIcE)里，f(x)不能这样地分解
我们有以下事实：对于每一个域F都存在F的代数 扩域E，而E是代数闭域。 这一事实的证明也超出本书范围。但分裂的理论 可以在一定意义下离补这一个缺陷。 定义 域F的一个扩域E叫做 的n次多项式 在F上的一个分裂域（或根域），假如 （ⅰ）在 里（有时简称在E里） 可以分解为 一次因子的积： （ⅱ）在一个小于E的中间域 里， 不 能这样地分解。 F x f x( ) E x f x( ) f x a x x x E ( ) = − − − n n i ( 1 2 )( ) ( ) ( ) I F I E ( ) f x( )
按这个定义，E是一个使得f(x)能够分解为一次因子的F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂域应该有什么性质。定理1令E是域F上多项式f(x)的一个分裂域：(1)f(x)=a,(x-α)(x-α2)..(x-α,) (α, EE)那么E=F(α,α2,,αn)证明 我们有FcF(α,α2,"..,αn)cE并且在F(αj,α2,,αn）中，f(x)已经能够分解成（1）的形式。因此根据多项式的分裂域的定义，E = F(α1,α2, "",αn)
按这个定义，E是一个使得 能够分解为一次因子 的F的最小扩域。我们先看一看，一个多项式的分裂 域应该有什么性质。 f x( ) 定理 1 令E是域F上多项式 的一个分裂域： （1） 那么 f x( ) f x a x x x E ( ) = − − − n n i ( 1 2 )( ) ( ) ( ) E F = ( 1 2 , , , n ) 证明 我们有 并且在 中， 已经能够分解成（1）的 形式。因此根据多项式的分裂域的定义， F F E ( 1 2 , , , n ) F ( 1 2 , , , n ) f x( ) E F = ( 1 2 , , , n )
根据这个定理，如果有F上的多项式f(x)的分裂域日存在，那么E刚好是把f(x）的根添加于F所得的扩域。因此我们也把多项式的分裂叫做它的跟域。现在我们证明多项式的分裂域的存在
根据这个定理，如果有F上的多项式 的分裂域E 存在，那么E刚好是把 的根添加于F所得的扩域。 因此我们也把多项式的分裂叫做它的跟域。现在我们 证明多项式的分裂域的存在。 f x( ) f x( )
定理2给了域F上一元多项式环F[xl的一个n次多项式 f(x)，一定存在f(x)在F的分裂域E。证明假定在F[x]里,f (x)= fi(x)gi (x)这里f(x)最高系数为1的不可约多项式。那么存在一个域E, = F(α)而 α,在F上的极小多项式是f(x)在 E,里 fi(α)=0，所以 x-αlf(x)因此在 E,里f (x)=(x-α)f2(x)g2(x)
定理 2 给了域F上一元多项式环 的一个n次多 项式 ，一定存在 在F的分裂域E。 F x f x( ) f x( ) 证明 假定在 里， 这里 最高系数为1的不可约多项式。那么存在一 个域 而 在F上的极小多项式是 在 里 ，所以 因此在 里 F x f x f x g x ( ) = 1 1 ( ) ( ) f x 1 ( ) E F 1 1 = ( ) 1 f x 1 ( ) E1 f 1 ( ) = 0 x f x −1 | ( ) E1 f x x f x g x ( ) = − ( 1 2 2 ) ( ) ( )