s 8.商(剩余类)环、同态与理想8.1商（剩余类）环的定义8.2自然同态8.3同态映射的核8.4同态基本定理8.5同态的性质
§ 8.商(剩余类)环、同态与理想 • 8.1 商(剩余类)环的定义 • 8.2 自然同态 • 8.3 同态映射的核 • 8.4 同态基本定理 • 8.5 同态的性质
8.1 商(剩余类)环的定义理想在环单所占地位同不变子群在群论单所占的地位类似。(首先复习陪集及商群)给了一个环R和R的一个理想A，若我们只就加法来看，R作成一个群，A作成R的一个不变子群。这样A的陪集[a], [b], [c], ..作成R的一个分类。我们现在把这些类叫做模A的剩余类
8.1 商(剩余类)环的定义 理想在环里所占地位同不变子群在群论里所占的地 位类似。 (首先复习陪集及商群) 给了一个环R和R的一个理想 ，若我们只就加法 来看，R作成一个群， 作成R的一个不变子群。 这样 的陪集 作成R的一个分类。我们现在把这些类叫做模 的 剩余类。 A A A abc , , , A
这个分类相当于R的元间的一个等价关系，这个等价关系是a~ba-beA我们现在用符号α=b(A)即a=b(A)α-bEA来表示（读成α与b模A同余）。一个类[α|包含所有可以写成(ueA)a+u的形式的元两个元的剩余类相等的条件是：[a]=[b] α-b e A
这个分类相当于R的元间的一个等价关系，这个等 价关系是 我们现在用符号 即 来表示（读成 与 模 同余）。 a b a b − A a b (A ) a b (A ) a b − A a b A ⚫ 一个类 包含所有可以写成 的形式的元. a a u u + ( A ) ⚫ 两个元的剩余类相等的条件是： [ ] [ ] a b = a b − A
我们把所有剩余类所作成的集合叫做R，即R = R/A = ([a]aeR)它有一个加群结构[a] + [b] = [a+b]进一步，定义乘法：[a] [6] = [ab]由于A是一个理想，利用上述同余条件容易证明上述定义的乘法的合理性,并且R构成环(见定理1)这个环称为叫做环R的模A的商(剩余类)环
⚫ 我们把所有剩余类所作成的集合叫做 ，即 = 它有一个加群结构 进一步, 定义乘法: R R R a a R / A = {[ ] } a b a b + = + a b ab = 由于 是一个理想，利用上述同余条件容易证明， 上述定义的乘法的合理性,并且 构成环(见定理1). A R 这个环称为叫做环R的模 A 的商(剩余类)环
8.2自然同态假定R是一个环，A是它的一个理想，R是定理 1所有模A是剩余类作成的集合。那么R本身也是一个环，并R且R与同态证明构造映射β:R→R如下：(a)= [a]可以证明：是R到R的一个同态满射，所以R与 R同态，并且R是一个环。证完
8.2 自然同态 定理 1 假定R是一个环， 是它的一个理想， 是 所有模 是剩余类作成的集合。那么 本身也是一个 环，并 且R与同态。 A R A R R 证明 构造映射 如下: 可以证明: 是R到 的一个同态满射，所以R与 同 态，并且 是一个环。证完。 : R R → ( ) a a = R R R