8 5.多项式环的因子分解5.1基本结论5.2引理5.3结论的证明
§5 .多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明
5.1 基本结论我们将要得到的结果是：一个唯一分解环1上的多元多项式环I[x,x2,,x,]本身也是唯一分解环
5.1 基本结论 我们将要得到的结果是：一个唯一分解环 上的多元多 项式环 本身也是唯一分解环。 I I x x x 1 2 , , , n
5.2引理把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。定义[x]的一个元(x)叫做一个本原多项式，假如f(x)的系数的最大公因子是单位。引理1假定f(x）=g(x）h(x）。那么(x）是本原多项式，当而且只当g（x）和h（x）都是本原多项式的时候
5.2引理 把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多 项式叫做可约多项式。 定义 的一个元 叫做一个本原多项式，假如 的 系数的最大公因子是单位。 I x f x( ) f x( ) 引理 1 假定 。那么 是本原多项式，当 而且只当 和 都是本原多项式的时候。 f x g x h x ( ) = ( ) ( ) f x( ) g x( ) h x( )
证明若是f(x)是本原多项式，显然g(x)和h(x)也都是本原多项式。g(x)=ao +ax+...现在假定h()=b。+bx+….是两个本原多项式。如果f(x)=g(x)h(x)=c+cx+…不是本原多项式，那么C+c +….有一个最大公因子d，d不是I的单位。由于（B）’g(x)±0,h(x)≠0 ，因而 f(x)±0,d±0。这样，由于I 是唯一分解环，有一个「的素元p可以整除d，因而可以整除每一个Ck。这个p不能整除所有的α.，也不能整除所有的b,，不然g(x)和h(x)不会是本原多项式。假定a,和b.各是g(x)和h(x)的头一个不能被p整数的系数。f(x)是系数Cr+.可以写成以下形式
g x h x ( ) 0, 0 ( ) I 证明 若是 是本原多项式，显然 和 也都是本原多项 式。 现在假定 是两个本原多项式。 如果 不是本原多项式，那么 有一个最大公因子d，d不是 的单位。由于（B）， ，因而 。这样，由于 是唯一分解 环，有一个 的素元 可以整除d，因而可以整除每一个 。 这个 不能整除所有的 ，也不能整除所有的 ，不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头 一个不能被 整数的系数。 是系数 可以写成以下形式 f x( ) g x( ) h x( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 g x a a x h x b b x = + + = + + ( ) ( ) ( ) 0 1 f x g x h x c c x = = + + 0 1 c c + + I I p k c p i a j b g x( ) h x( ) ar bs g x( ) h x( ) p f x( ) r s c + f x d ( ) 0, 0
Cr+s = a,b, +ar+1bs-1 +ar+2bs-2 +..+ ar-,bs+1 +ar-2bs+2 +...在这个式子里除了α.b.以外，每项都能被p整除，所以a,b,也能被p整除，因而由于I是唯一分解环，α,或 b,能被p整除，与这两个元的取发相反。这样f(x)必须是本原多项式。证完。现在我们用I的商域Q来做Q上的一元多项式环Q[xl，那么Q[x包含I[xl。我们知道9x是唯一分解环，我们要由这一件事实来证明Ⅱx也是唯一分解环
在这个式子里除了 以外，每项都能被 整除，所以 也能被 整除，因而由于 是唯一分解环， 或 能 被 整除，与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多 项式。证完。 现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ，那么 包含 。我们知道 是唯一分解环，我们要由这一件 事实来证明 也是唯一分解环。 1 1 2 2 1 1 2 2 r s r s r s r s r s r s c a b a b a b a b a b + + − + − − + − + = + + + + + + r s a b p a br s p I ar bs p f x( ) I Q x Q x Q x I x I x