S 4.欧氏环3.1定义及例3.2主要结论一分解环3.3两个重要唯3.4小结
§4. 欧氏环 • 3.1 定义及例 • 3.2 主要结论 • 3.3 两个重要唯一分解环 • 3.4 小结
3.1定义在整数环和数域上一元多项式环中带余除法起着重要的作用这个定理在一般的整环中并不成立例如：二元多项式环因此，需要定义可以做“带余除法”的环定义一个整环R叫做一个欧氏环，假如（i）存在一个映射ΦR（非零元所作成的集合）→N=01,2（ii）给定了R的一个不等于零的元a，R的任何元b都可以写成b=qa+r(q,rel)的形式，这里：r=O 或是(r)<(a)
3.1 定义 在整数环和数域上一元多项式环中,带余除法起着重要的作 用,这个定理在一般的整环中并不成立,例如:二元多项式环. 因此, 需要定义可以做“带余除法”的环. 定义 一个整环R叫做一个欧氏环，假如 （ⅰ）存在一个映射 (非零元所作成的集合) （ⅱ）给定了 的一个不等于零的元a， 的任何元 b 都可 以写成 的形式，这里: 或是 * R → = N {0,1, 2 } R R b qa r q r I = + ( , ) r = 0 (r a ) ( )
例1整数环是一个欧氏。因为：d:α→[a=(a）(la表示整数a的绝对值)是一个适合条件（i）的映射。给了整数α≠0，任何整数b是可以写成b=qa+r的形式，这里r=0或(r)=<a(a)
例1 整数环是一个欧氏。因为： 是一个适合条件（ⅰ）的映射。给了整数 ，任何整数 b是可以写成 的形式，这里 。 : a a a a a → = ( ) ( 表示整数 的绝对值) a 0 b qa r = + r r r a a = = 0或 ( ) ( )
3.2 主要结论定理1任何欧氏R一定是一个主理想环，因而一定是一个唯一分解环。证明我们看R的任一个理想A，我们需要证明A是一个主理想如果A=0，它是一个主理想(O)如果A≠O,包含不等于零的元。由欧氏环的定义，存在一个映射Φ，在这个映射之下A的每一个不等于零的元x有一个象(x)N，那么Φ(A是N的非空子集，Φ(A)中一定有一个最小的?？)，因此我们可以找到A的一个不等于零的元a，使得对于A的任何不等于零的元x来说，都有Φ(a)≤Φ(x
3.2 主要结论 定理 1 任何欧氏R一定是一个主理想环，因而一定是一个唯 一分解环。 证明 我们看R的任一个理想A, 我们需要证明A是一个主理想。 如果A=0, 它是一个主理想(0) 如果 包含不等于零的元。由欧氏环的定义，存在一 个映射 ，在这个映射之下A的每一个不等于零的元 有一个 象 ，那么 是N的非空子集, 中一定有一个最 小的(??)，因此我们可以找到A的一个不等于零的元a，使得对 于A的任何不等于零的元 来说，都有 A 0, x ( x N ) (A ) (A ) x (a x ) ( )
再一次欧氏环的定义，A的每一个元b都可以写成b=qa+r 的形式，这里r=0或Φ(r)<Φ(a)因为a和b都属于A，r=b一qa也属于A。若是r≠0，那么有一个不等于零的元r，适合条件Φ(r)<Φ(a)与a的取法矛盾。这样，r=0,b=qα,A=(a
再一次欧氏环的定义，A的每一个元b都可以写成 的形式，这里 因为a和b都属于A， 也属于A。若是 ， 那么有一个不等于零的元 r ，适合条件 与a的取法矛盾。这样， b qa r = + r r a = 0或 ( ) ( ) r b qa = − r 0 (r a ) ( ) r b qa a = = = 0, , A ( )