S9最大理想·9.1定义及等价条件9.2基本结论9.3进一步的结论
§9最大理想 • 9.1 定义及等价条件 • 9.2 基本结论 • 9.3 进一步的结论
9.1定义及等价条件以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节内容),第二种方法是分式域(下节内容)。Z, =Z/(p),p is aprime一个基本的模型：Z→Q=(=|a,beZ,b0)「叫做一个最定义 一个环R的一个不等于的理想大理想,假如，除了R同I自己以外，没有包含A的理想
9.1 定义及等价条件 以下我们要认识两种由一个交换环来得到一个域 的重要方法,第一种就是利用最大理想的方法(本节 内容),第二种方法是分式域(下节内容)。 一个基本的模型： /( ), is a prime { , , 0} Z Z p p p Z a Q a b Z b b = → = 定义 一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最 大理想,假如，除了 同 自己以外，没有包含 的 理想。 R I R I A
最大理想有下面一些等价表述：(1)一个环R的一个不等于的理想I叫做一个最大理想,如果存在理想 J满足:ICJCR,那么J=I或J=R.(2)一个环R的一个不等于的理想叫做一个最大理想,如果存在理想J满足:IOJR，那么J=R(3)一个环R的一个不等于的理想I叫做一个最大理想,如果存在理想J满足:ICJOR，那么J=I
最大理想有下面一些等价表述: (1)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理 想,如果存在理想 满足: , 那么 或 . (2)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理 想,如果存在理想 满足: , 那么 . (3)一个环 的一个不等于的理想 叫做一个最大理 想,如果存在理想 满足: , 那么 . R I J I J R J I = J R= R I J I J R Ø J R= R I J I J R Ø J I =
例1我们看整数环Z。我们说，由一个素数p所生成的主理想I=(p)是一个最大理想。因为：假定J是理想，并且：IOJ≤Z那么J一定包含一个不能被p整除的整数q。由于p是素数，p与q互素，所以我们可以找到整数s和t使得sp +tq = 1但P也属于J，而且J是理想，所以1EJ, J= R
例1 我们看整数环 。我们说，由一个素数 所生 成的主理想 是一个最大理想。因为：假定 是 理想，并且: 那么 一定包含一个不能被 整除的整数 。由于 是素数， 与 互素，所以我们可以找到整数s和t， 使得 但 也属于 ，而且 是理想，所以 Z p I p = ( ) J I J Ø Z J p q p q p sp tq + =1 p J J 1 J J R , =
9.2基本结论定理假定R是一个有单位元交换环，I是R的一个理想。R/I是一个域是I一个最大理想的时候证明（一）设I是一个最大理想，我们分两步证明：（1）R/I至少有一个非零元那么IOR.因此,在商环R/I=([a]aER)中至少有一个非零元(??)
9.2 基本结论 定理 假定 是一个有单位元交换环， 是R的一个理想。 是一个域是 一个最大理想的时候。 R I R I/ I 证明 ( ) 设 是一个最大理想, 我们分两步证明: (1) 至少有一个非零元. 那么 . 因此,在商环 中至少有 一个非零元(??). I R I/ I R Ø R I a a R / {[ ] } =