s6*.可离扩域我们要讨论的第二种特殊类型的域是可离扩域。我们的主要目的是要证明，有限可离扩域都是单扩域。定义令F是一个域，E是F的一个代数扩域而α是E的一个元。如果α在F上的极小多项式没有重根，那么α叫做F上的一个可离元。如果E的每一个元都是F上的可离元，那么E叫做F的一个可离扩域：否则E叫做F的一个不可离扩域。为了对于可离扩域有一些初步的了解，我们先看一看，一个不可约多项式什么时候有重根
§ 6 * . 可离扩域 我们要讨论的第二种特殊类型的域是可离扩域。我们 的主要目的是要证明，有限可离扩域都是单扩域。 定义 令 是一个域，E是 的一个代数扩域而 是E 的一个元。如果 在 上的极小多项式没有重根，那 么 叫做 上的一个可离元。如果E的每一个元都是 上的可离元，那么E叫做 的一个可离扩域；否则E叫 做 的一个不可离扩域。 F F F F F F F 为了对于可离扩域有一些初步的了解，我们先看一 看，一个不可约多项式什么时候有重根
引理 1 令 f(x)是 F[xl 的一个不可约多项式，这里 F是一个域。若F的特征是，那么f(x没有重根；若的特征是P那么f(有重根的充分与必要条件是：f(x)=g(xp)，这里 g(x)是 F[xl的一个多项式。证明f(x)有重根的充分与必要条件是：f(x)与它的导数 (x)在Fx|中有次数≥1的公因子；由于f(x)不可约，这个条件只在f'(x)=0时才能被满足。令f(x)=a,x" +an-ix"-l +...+ax+ao那么f'(x) = na,xn-I +(n-1)an-ixn-2 +...+a
引理 1 令 是 的一个不可约多项式，这里 是一个域。若 的特征是∞，那么 没有重根；若 的 特征是 ，那么 有重根的充分与必要条件是： ，这里 是 的一个多项式。 f x( ) F x F F f x( ) F p f x( ) ( ) ( ) p f x g x = g x( ) F x 证明 有重根的充分与必要条件是： 与它的 导数 在 中有次数 的公因子；由于 不可 约，这个条件只在 时才能被满足。令 那么 f x( ) f x( ) f x ( ) F x 1 f x( ) f x ( ) = 0 ( ) 1 1 1 0 n n n n f x a x a x a x a − = + + + + − ( ) ( ) 1 2 1 1 1 n n n n f x na x n a x a − − − = + − + +
情形1.F 的特征是8。这时f'(x)=0=a, =an- =...=a =1这就是说，f(x)=α，与 f(x)不可约的假设矛盾。所以在这个情形下f(x)不能有重根。情形2.F的特征是P。这时f'(x)=0=a =2a, =...= na, =0这就是说，只要i0(p)，就必有α,=0。因此f(x)=apx'P +..+a2px2P +a,xP +ao=ap (x) +.+a2p (xp) +a,xP +ao证完= g(xp)
情形1. 的特征是∞。这时 这就是说， ，与 不可约的假设矛盾。所以 在这个情形下 不能有重根。 情形2 . 的特征是 。这时 这就是说，只要 ，就必有 。因此 证完 F ( ) 1 1 0 1 n n f x a a a − = = = = = ( ) 0 f x a = f x( ) f x( ) F p ( ) 1 2 0 2 0 n f x a a na = = = = = i p 0( ) 0 i a = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 2 2 0 tp p p tp p p p t p p tp p p p f x a x a x a x a a x a x a x a g x = + + + + = + + + + =
引理1特征是8的域的任何代数扩域都是可离扩域特征是p的域可以有不可离扩域。引理2 令 F是一个特征为P的域。当而且只当 F的每一元α都是F的某一元b的p次幂：a=b时，F的任何代数扩域都是可离扩域。证明 假定F的每一元α都可以写成a=bp(beF)的形式。这时F[x]的一个多项式f(x)=a, (xp) +a-(x) +..+axP+ao
引理 1 特征是∞的域的任何代数扩域都是可离扩域。 特征是 p 的域可以有不可离扩域。 引理 2 令 是一个特征为 的域。当而且只当 的每 一元 都是 的某一元 的 次幂； 时， 的任何 代数扩域都是可离扩域。 F p F F b p p a b = F 证明 假定 的每一元 都可以写成 的形式。这时 的一个多项式 F ( ) p a b b F = F x ( ) ( ) ( ) 1 1 1 0 t t p p p t t f x a x a x a x a − = + + + + −
在F[x]里一定可约。因为令α,=bp，就有f(x) =(b,x +b,x-+ +..+bx+bo)这样，若F[x]的一个多项式在 F[x]中不可约，那么它不能在F[x]中写成g(x)的形式。于是根据引理1，F[xl的每一不可约多项式都没有重根，因而F的代数扩域都是可离扩域。现在反过来假定，F含有元α而a≠bP（beF）。看F[x)的多项式f(x)=xp-a
在 里一定可约。因为令 ，就有 这样，若 的一个多项式在 中不可约，那么它不 能在 中写成 的形式。于是根据引理1， 的 每一不可约多项式都没有重根，因而F的代数扩域都是 可离扩域。 现在反过来假定， 含有元 而 。看 的多项式 F x p i i a b = ( ) ( ) 1 1 1 0 p t t t t f x b x b x b x b − = + + + + − F x F x F x ( ) p g x F x F a ( ) p a b b F F x ( ) p f x x a = −