而 F[xl的单位就是F的非零元．所以令 p(x）的最高系数是1，p(x)就是唯一确定的．由A 的定得：p(α)=0；由此得p(x)不是F 的非零元．但α 是 F 上的代数元，所以 p(x)也不是零多项式．因此，p(x)的次数≥1.我们说,p(x)是F[xl的一个不可约多项式．不然的话，将有p(x) =g(x)h(x), g(x)和 h(x) 的次数< p(x) 的次数从而得p(α) = g(α)h(α) =0但 g(α)和 h(α)是域 F(α)的元，而域没有零因子，所以由上式可以得到g(α)=0 或h(α)= 0
而 的单位就是 的非零元．所以令 的最高系数是 １， 就是唯一确定的．由 的定得： ；由此得 不是 的非零元．但 是 上的代数元，所以 也不 是零多项式．因此， 的次数≥１． F x[ ] F p x( ) p x( ) A p( ) 0 = p x( ) F F p x( ) p x( ) 我们说， 是 的一个不可约多项式．不然的话，将有 ， 和 的次数＜ 的次数 p x( ) F x[ ] p x g x h x ( ) ( ) ( ) = g x( ) h x( ) p x( ) p g h ( ) ( ) ( ) 0 = = g( ) h( ) F( ) g( ) 0 = 或 h( ) 0 = 从而得 但 和 是域 的元，而域没有零因子，所以 由上式可以得到
这就是说，g(x)A 或 h(x)EA，即p(x) g(x)或 p(x) |h(x)这是一个矛盾。这样,p(x)是一个不可约多项式，因而(p(x)是F(x)的一个最大理想，而 F(x)/(p(x))是一个域．这样 F(α)是一个域．但 F(α）包含F也包含 α，并且 F[α]cF(α)，所以F(α)= F[α]= F[x]/(p(x))证完
这就是说 ， 或 ，即 这是一个矛盾． g x( )A h x( )A p x( ) g x( ) 或 p x( ) h x( ) 这样， 是一个不可约多项式，因而 是 的一个 最大理想，而 是一个域．这样 是一个 域．但 包含 也包含 ，并且 ， 所以 证完 p x( ) ( ( )) p x F x( ) F x p x ( ) ( ( )) F( ) F( ) F F F [ ] ( ) F F F x p x ( ) [ ] [ ] ( ( )) =