S 3. 主理想环3.1定义3.2 两个有趣的引理3.3主要定理
§ 3. 主理想环 • 3.1 定义 • 3.2 两个有趣的引理 • 3.3主要定理
3.1定义要知道一个整环是不是一个唯一分解铅不是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义里的条件（i），（ii）或是（IV），2,定理2里的条件（i），（iii）能否被满足，一般是非常困难的。以下我们要认识几种特殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题时可以有一点帮助
要知道一个整环是不是一个唯一分解铪不 是一件容易的事，因为要测验唯一分解定义 里的条件（ⅰ），（ⅱ）或是（Ⅳ），2， 定理2里的条件（ⅰ），（ⅲ）能否被满足， 一般是非常困难的。以下我们要认识几种特 殊的唯一分解环，使得我们在解决以上问题 时可以有一点帮助。 3.1 定义
第一种是主理想环定义 一个环「叫做一个主理想环，假如I的没个理想都是主理想
第一种是主理想环。 定义 一个环 叫做一个主理想环，假如 的没 个理想都是主理想。 I I
3.2两个有趣的引理本节证明，一个主理想环一定是一个唯一分解环。为证明这一点，我们需要两个引理这两个引理本身也是很重要。例1环R的理想升链ICI,..In CIn+l的并I=JI 是理想i-1
3.2 两个有趣的引理 本节证明, 一个主理想环一定是一个唯一 分解环。为证明这一点，我们需要两个引理。 这两个引理本身也是很重要。 例1 环R的理想升链: 1 2 1 n n I I I I + 的并 是理想 1 n i i I I = =
例2 在整环中(1) (a)≤(b)≤bla(2)(a)=(b)← a,b是相伴元引理1 假定R是一个主理想环，若在序列(a, l)a,a2,a32中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列定是一个有限序列，也就是说，一定存在n，使得an不是an+i的真因子
例2 在整环中, (2) ( ) ( ) , a b a b = 是相伴元 (1) ( ) ( ) a b b a 引理 1 假定 是一个主理想环，若在序列 中每一个元是前面一个真因子，那么这个序列 一定是一个有限序列, 也就是说, 一定存在 , 使得 不是 的真因子。 R a a a a I 1 2 3 , , , ( i ) n n a n 1 a +