二、单自由度体系自由振动微分方程的解 k my=0…()→计+0y=0(O=yVm (t)=Csin@t+C2cos@t T y(O)=o→C1=0 y(0)=y→ 21010/ Vo/a v(t)=yo cost+osin at y(t)=a sin(@t+a)
二、单自由度体系自由振动微分方程的解 ( ) m k 0 w = 2 m&y&+ky =0LL(a) &y&+w y = y(t )=a sin(wt+a) ( ) cos sin 0 0 w w = w + t v y t y t (0) 0 2 0 y = y C = y ( ) sin cos 1 2 y t =C wt+C wt (0) 0 0 1 w = = v y& v C y(t) t y0 －y0 y(t ) t v0 /ω －v0 /ω T t a －a T α/ω
自振周期计算公式 T=2丌 2丌 st k v g 园频率计算公式:k「1 8 Vm ms wδV△n 些重要性质: (1)自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关,与 外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a (2)自振周期与质量的平方根成正比,质量越大,周期越 大(频率越小);自振周期与刚度的平方根成反比,刚度越 大,周期越小〔频率越大);要改变结构的自振周期,只有 从改变结构的质量或刚度着手。 (3)两个外形相似的结构,如果周期相差悬殊,则动力性 能相差很大。反之,两个外形看来并不相同的结构,如果其 自振周期相近,则在动荷载作用下的动力性能基本一致
其中δ——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质 点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 k——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上 沿振动方向施加的力。 Δst=Wδ——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质 点沿振动方向所产生的位移。 计算时可根据体系的具体情况，视δ、k、 Δst 三参数中哪一 个最便于计算来选用。 自振周期计算公式： 圆频率计算公式： 一些重要性质： （1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与 外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅a。 （2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越 大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越 大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有 从改变结构的质量或刚度着手。 （3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性 能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其 自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。 st g W g m m k = = = = w 1 k g m T st = 2 = 2
例4、图示三根单跨梁,E/为常数,在梁中点有集中质量m, 不考虑梁的质量,试比较三者的自振频率。 12 12 12mm12 12 解:1)求δ 2 48EI 768EI 192EI 48E 768E 192EI m 00 7m33 据此可得:o1:02:03=1:1.512:2 结构约束越强其刚度越大刚度越大其自振动频率也越大
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 l/2 m m m 解：1）求δ EI l 48 3 1 = P=1 3l /16 5l /32 l / P=1 2 EI l l l l l EI l 768 7 ) 32 5 16 2 3 2 (2 6 1 3 2 1 = − = EI l 768 7 3 2 = EI l 192 3 3 = 3 1 1 1 48 ml EI m = = w 3 2 2 7 1 768 ml EI m = = w 3 3 3 1 192 ml EI m = = w 据此可得：ω1 ׃ ω2 ׃ ω3= 1 ׃ 1.512 ׃ 2 结构约束越强,其刚度越大,刚度越大,其自振动频率也越大
例5、求图示结构的自振圆频率 解法1:求k0=1h k El 3El Moa=kh= Mdc=3-0 与→0O El BEI k m…… 2 k 3EI Mhi 解法2:求δ lI 1 h 2h lh bEN e2 3 3E m mlh
1 θ 例5、求图示结构的自振圆频率。 解法1：求 k θ=1 /h MBA=kh = MBC k l h m I→∞ EI B A C lh EI l EI 3 =3 = mh l EI m k 2 3 w = = 2 3 lh EI k = 1 h 解法2：求 δ EI lh h lh EI 3 3 2 2 1 2 = = 2 11 1 3 mlh EI m = = w
例6、求图示结构的自振频率 解:求k gEl BEI k El k1=k+ k 3B/3+k 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 °如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时,所有刚节点 都不能发生转动(如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 2EI 兩端刚结的杆的侧移刚度为 ·端铰结的杆的侧移刚度为: BEI
例6、求图示结构的自振频率。 l EI m k 1 k k11 11 k 3 3 l 解：求 k EI 11 3 3 l EI k = k + m k m k l EI + = = 3 3 11 w •对于静定结构一般计算柔度系数方便。 •如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点 都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。 3 12 l EI 一端铰结的杆的侧移刚度为： 3 3 l EI 两端刚结的杆的侧移刚度为：