矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的两个基本步骤是 (1)结构的离散化;(2)单元分析;(3)整体分析 任务 意义 单元建立杆端力与杆端位移 用矩阵形式表示杆 分析间的刚度方程,形成单 件的转角位移方程 元刚度矩阵 整体由变形条件和平衡条件 用矩阵形式表示位 分析建立结点力与结点位移 移法基本方程 间的刚度方程,形成整 体刚度矩阵
1 一、矩阵位移法的基本思路 矩阵位移法的两个基本步骤是 （1）结构的离散化；（2）单元分析；（3）整体分析， 任务 意义 单元 分析 建立杆端力与杆端位移 间的刚度方程，形成单 元刚度矩阵 用矩阵形式表示杆 件的转角位移方程 整体 分析 由变形条件和平衡条件 建立结点力与结点位移 间的刚度方程，形成整 体刚度矩阵 用矩阵形式表示位 移法基本方程
二、杆端位移、杆端力的正负号规定 般单元:指杆件除有弯曲变形外,还有轴向变形和剪切变形的单元, 杆件两端各有三个位移分量, 符号规则:图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标,局部座标的x 座标与杆轴重合;图(b)表示的杆端位移均为正方向。 EAl x单元编号 杆端编号 局部座标 11 杆端位移编号 1M1 杆端力编号
2 指杆件除有弯曲变形外，还有轴向变形和剪切变形的单元， 杆件两端各有三个位移分量， 符号规则：图(a)表示单元编号、杆端编号和局部座标，局部座标的 x 座标与杆轴重合； 1 2 e E A I l x y (a) 图(b)表示的杆端位移均为正方向。 单元编号 杆端编号 局部座标 1 2 1 u 1 v 1 2 2 u 2 v (b) 杆端位移编号 1 2 X1 Y1 M1 M2 X2 (c) 杆端力编号 二、杆端位移、杆端力的正负号规定 一般单元：
局部座标系中的单元刚废方程=k区 局部座标系的单元刚度矩阵 (1)(2)(3)(4)(5)(6) l=1W1=1a=12=1v2=12=1 EA EA 0 0 0 12EⅠ6EI 12EⅠ6EI (2)0 0 6EI4EⅠ (3)0 6El 2EI 0 F 只与杆件本身性质有 EA EA 4 0 0 0 关而与外荷载无关 12EⅠ-6EI 012E-6EⅠ (6) 6E 2EI -6EI 4EI
3 F k e e e 局部座标系中的单元刚度方程 EA l 6EI l2 6EI l2 EA l 12EI l3 12EI l3 4EI l 2EI l e k e = (1) (2) (3) (4) (5) (6) (1) (2) (3) (4) (5) (6) 0 0 0 0 0 0 6EI l2 0 6EI l2 0 -EA l -6EI l2 -6EI l2 EA l -12EI l3 12EI l3 2EI l 4EI l 0 0 0 0 0 0 -6EI l2 0 6EI l2 0 u1 1 1 v1 1 1 u2 1 1 v2 1 2 只与杆件本身性质有 关而与外荷载无关 局部座标系的单元刚度矩阵
§13-3单元刚度矩阵(整体座标系) 单元座标转换矩阵 正交矩阵 X x{P=[7 X 区P=门2 X )9[7y2 X cos a sin a 00 00|X1 sin a cos a 00 001 00 cosa sina OX2 Y, 00 -sin a cos a OY 座标转换矩阵 000 0
4 §13-3 单元刚度矩阵(整体座标系) x y e X1 Y1 M1 X2 x y X1 Y1 M1 X2 Y2 M2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 1 0 0 0 sin cos 0 0 0 0 cos sin 0 0 0 0 M Y X M Y X M Y X M Y X e e e F TF e e 座标转换矩阵 一、单元座标转换矩阵 正交矩阵 [T] -1 =[T]T F T F T e e T e e T T ⓔ ⓔ
整体座标系中的单元刚度矩阵 k]°=[7]k[门 三、单元刚度矩阵的性质 (1)单元刚度系数的意义 代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第个杆端力分量。 2)单元刚度矩阵区°是对称矩阵,即k=k (3)一般单元的刚度矩阵|是奇异矩阵;因此它的逆矩阵不存在 从力学上的理解是,根据单元刚度方程区区P 由勾2→园e有一组力的解答(唯一的,即正问题 由P→区P如果}不是一组平衡力系则无解;若是 组平衡力系,则解答不是唯一的,即反问题
5 三、单元刚度矩阵的性质 （1）单元刚度系数的意义 ij k e —代表单元杆端第j个位移分量等于1时所引起的第i个杆端力分量。 （2）单元刚度矩阵 k 是对称矩阵， e 即 ij ji k k 。 （3）一般单元的刚度矩阵 k 是奇异矩阵； e 因此它的逆矩阵不存在 从力学上的理解是，根据单元刚度方程 F k e e e F 由 e e 有一组力的解答(唯一的)，即正问题。 F 由 e e 如果 F e 不是一组平衡力系则无解；若是一 组平衡力系，则解答不是唯一的，即反问题。 [k] = [T]T k e [T] e 二、整体座标系中的单元刚度矩阵