郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十五章 结构的动力计算（15.4-5.6）

§15-4两自由度体系的自由振动 一、刚度法 D=/1-@m) k12 特征方程 k21 (k22-om, 频率方程 (k1-2m1)k2-O2m2)-k12k21=0 k k ,k k1k2-k12k2 m m2 最小圆频率称为第一(基本园频率: 第二圆频率 (1)主振型 72 21 Y II k12 k1-1m1 BY 12 ku-@,m

1 ( )( 2 ) 12 21 0 2 1 22 2 k11 − m k − m − k k = 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 m m k k k k m k m k m k m k −  −               +          = + （1）主振型 1 1 2 11 1 12 21 11 C k m k Y Y = − = −  2 1 2 11 2 12 22 12 C k m k Y Y = − = −  m1 m2 Y21 Y11 Y12 Y22 最小圆频率称为第一(基本)圆频率： 1 2——第二圆频率 0 ( ) ( ) 2 2 21 22 1 12 2 11 = − − = k k m k m k D   特征方程 频率方程 §15-4 两自由度体系的自由振动 一、刚度法

二、柔度法 D 0 21 令 2-(61m1+62m2)A+(612mm2-62621mm2)=0 A1=k61m1+2m2)√(Gm+O2m2)2-4(6 12021)1n 2 主振型 62m212 2

2 0 1 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 = − − =       m m m m D 令 2 1   =  1 1 2 2 1 2 2 1 1 2  2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 ( ) ( ) 4( ) 2 1  =  m + m   m + m −   −  m m 2 2 1 1 1 1     = = 主振型 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1       − = − − = − m m Y Y m m Y Y 二、柔度法 ( 11 1 22 2 ) ( 11 22 1 2 12 21 1 2 ) 0 2  −  m + m  +   m m −  m m =

主振型及主振型的正交性 a, m O2m12 22 21 12 )2 m 22 第一主振型 第二主振型 由功的互等定理: (m11)Y12+(m2Y21)Y2=(mO2Y12)1+(m2O2Y2)Y21 整理得:(2-02)(m1Y1H12+m2H21Y2)=0 因a1≠O2,则存在 m112+m2Y21Y2 0…………(15.51) 两个主振型相互正交,因与质量有关,称为第一正交关系

3 三、主振型及主振型的正交性 m1 m2 1 11 2 1 mY 2 21 2 1 m Y Y11 Y21 1 12 2 2 mY 2 22 2 2 m Y 由功的互等定理： 整理得： m1 m2 Y12 Y22 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 (m Y )Y + (m  Y )Y = (m Y )Y + (m  Y )Y ( )( 1 11 12 2 21 22 ) 0 2 2 2 1 − mY Y + m Y Y = 因 1 2 ，则存在： 0 (15.51) m1 Y11Y12 +m2 Y21Y22 =  两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。 第一主振型 第二主振型

由功的互等定理: (m104Y1)12+(m2OY21)Y2=(mO2Y12)Y1+(m2O2Y2)21 m1112+m212=0…………(15.51) 上式分别乘以o12、O2,则得: (mc21)X12+(m2O2Y21)Y2=0 2 1211 +(m2O Y2,)Y 22 21 0 第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零 第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功,其能量 不会转移到其它主振型上,不会引起其它主振型的振动; 各个主振型能单独存在,而不相互千扰

4 由功的互等定理： 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 (m Y )Y + (m  Y )Y = (m Y )Y + (m  Y )Y 0 (15.51) m1 Y11Y12 +m2 Y21Y22 =  上式分别乘以ω1 2 、ω2 2，则得： ( ) ( ) 0 ( ) ( ) 0 22 21 2 12 11 2 2 2 1 2 21 22 2 11 12 2 1 2 1 1 + = + = m Y Y m Y Y m Y Y m Y Y     第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零； 第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零； 某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量 不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动； 各个主振型能单独存在，而不相互干扰

§15-5两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 y2+k2y1+k2y2=P() P2(t)=Psinet po(o +kun,+ki2y2=P(t H P(t=psinet 在平稳阶段,各质点也作简诸振动:y(t)= sinet y2(t=Y, sinet (k1-62m1)1+k12Y2=B1Y1=D1D0 k21+(k22-62m2)Y2=P2Y2=D2Do k1=0m1 D1=Pk2-0m2)k122 12 k21k2- D2=P10m)k2 如果荷载频率θ与任一个自振频率 D 2重合,则D=0,当D1、D k2 22-Om 不全为零时,则出现共振现象

5 §15-5 两个自由度体系在简谐荷载下的受迫振动 y1 (t) y2 (t) P1 (t) P2 (t) P t P t P t P t   ( ) sin ( ) sin 2 2 1 1 = 如 = 在平稳阶段，各质点也作简谐振动： y t Y t y t Y t   ( ) sin ( ) sin 2 2 1 1 = = 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 ( ) ( ) k Y k m Y P k m Y k Y P + − = − + =   0 2 2 21 22 1 12 2 11 = − − = k k m k m k D   Y1=D1 /D0 Y2=D2 /D0 2 2 21 22 1 12 2 11 0 k k m k m k D   − − = ( ) 2 12 2 2 D1 =P1 k22− m −k P 如果荷载频率θ与任一个自振频率 ω1、 ω2重合，则D0=0, 当D1、D2 不全为零时，则出现共振现象 ( ) 1 21 1 2 D2 =P2 k11− m −k P 0 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2 + + = + + = m y k y k y m y k y k y .. .. ( ) ( ) 2 1 P t P t