郑州大学：《结构力学》课程教学资源（PPT课件）第十五章 结构的动力计算 §15-4 两个自由度体系的自由振动

§15-4两个自由度体系的自由振动 、刚度法(1)两个自由度体系 y2() 22 m2y2+0 K y1() y1( m11—K1 K Kul k12 m1i1+K1=0 K1=k1y1+k12y2 m2y2+k2=0 K=k 21 +k22 m1元y1(t)+k1y1(t)+k12y2(t)=0 m212(1)+k21y1(t)+k2y2(t)=0 两自由度体系自由振动微分方程

1 §15-4 两个自由度体系的自由振动 一、刚度法 （1）两个自由度体系 m1 m2 y1(t) y2(t) m1 m2 1 1 m y 2 2 m y K2 K1 K2 K1 y1(t) y2(t) 1 21 k 11 k 1 12 k 22 k m1y 1  K1  0 m2 y 2  K2  0 1 11 1 12 2 K  k y  k y 2 21 1 22 2 K  k y  k y  ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2       m y t k y t k y t m y t k y t k y t    两自由度体系自由振动微分方程

m1y1(t)+k1y1(1)+k2y2(1)=0 (t)+k21y1(t)+k2y2(1)=0 设解为y()=H1sin(ot+a) y1() 常数 V2(t)=Y2 sin(ot+a) y2(t), 1)在振动过程中,两个质点具有相同的频率和相同的相位角; 2)在振动过程中,两个质点的位移在数值上随时间而变化, 振动过程中,结构位移形状保持不变的振动形式,称为主振型。 (k1-om)+k122=01 K12 k21H1+(k2-Om2)Y2=0 当然Y=Y2=0为其解,为了求得不全为零的解,令 k1-m) 2 特征方程 0 k 2-Om2 频率方程 (k1-O2m1)(k2-O2m2)-k2k21=0

2 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0 2 2 21 1 22 2 1 1 11 1 12 2       m y t k y t k y t m y t k y t k y t    设解为        ( ) sin( ) ( ) sin( ) 2 2 1 1     y t Y t y t Y t 2 1 2 1 ( ) ( ) Y Y y t y t  =常数           ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 2 11 k Y k m Y k m Y k Y   当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令 0 ( ) ( ) 2 2 21 22 1 12 2 11     k k m k m k D   特征方程 频率方程 ( )( ) 0 2 12 21 2 1 22 2 k11  m k  m  k k  1）在振动过程中，两个质点具有相同的频率和相同的相位角； 2）在振动过程中，两个质点的位移在数值上随时间而变化， 振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型

(k1-O2m1)k2-o2m2)-k12k21=0 +22 ku,k22 ku 11221221 最小圆频率称为第一(基本圆频率:O1O2—第二圆频率 (1)主振型 1-m1)1+k 1212= 0 21 ku-afm, 211 (k2-03m2)Y2=0 12 k 12 Y22 ku1-ofm 由此可见: 多自由度体系如果按某个主振型自由振动,其振动形式保持 不变,此时,多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 (2)按主振型振动的条件:初位移或初速度与此振型相对应; 实际上,多自由度体系在零时刻的y或v通常不能完全与某一振型相对应

3 ( )( ) 0 2 12 21 2 1 22 2 k11  m k  m  k k  1 2 11 22 12 21 2 2 22 1 11 2 22 1 2 11 2 1 2 1 m m k k k k m k m k m k m k                          （1）主振型 1 1 2 11 1 12 21 11 C k m k Y Y      2 1 2 11 2 12 22 12 C k m k Y Y      （2）按主振型振动的条件： 初位移或初速度与此振型相对应； m1 m2 Y21 Y11 Y12 Y22           ( ) 0 ( ) 0 2 2 2 21 1 22 1 1 12 2 2 11 k Y k m Y k m Y k Y   最小圆频率称为第一(基本)圆频率：1 2——第二圆频率 由此可见： 多自由度体系如果按某个主振型自由振动，其振动形式保持 不变，此时，多自由度体系实际上是像一个单自由度体系在振动。 实际上，多自由度体系在零时刻的y0或vo通常不能完全与某一振型相对应

(3)一般振动 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 y1(t)=A1sin(O1+a1)+A2Y2si(O2t+a2)多自由度体 12()=Y2sin(o1+a)+A2Y2Sin(2t+a)系自由振动 的振型分解 例7:设图示刚架横梁刚度为无限大,层间侧移刚度分别为k和 k2,试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。 k2=k2 k2 k1=k1+k2 2=-k2 k 解:(1)求频率方程中的刚度系数 k1=k1+k2k12=k21=k2k2k2

4 例7：设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和 k2，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。 m1 m2 k1 k2 解：（1）求频率方程中的刚度系数 1 21 2 k  k 11 1 2 k  k  k 1 12 2 k  k 22 2 k  k k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 （3）一般振动            ( ) sin( ) sin( ) ( ) sin( ) sin( ) 2 2 21 1 1 2 22 2 2 1 1 11 1 1 2 12 2 2         y t A Y t A Y t y t AY t A Y t 两自由度体系自由振动是两种频率及其主振型的组合振动 多自由度体 系自由振动 的振型分解

(2)求频率k1k1+k2k12=k21=-k2k2=k2 代公式(k1-O2m1)(k2-m2m2)-k12k21=0 (k1+k2-O2m1)(k2-O2m2)-k2=0 若有m1=m2=m k k 0.38197 2.61803 K,=k2=k 1.61803 k O,=0.61803 (3)求主振型 1.618 ●0.618 K12 Yr k 1.0 1.0 2k-0.38197k1.618 Y12 k ,2k-2618030618 第1振型 第2振型

5 m k m k 0.38197 2.61803 2 2 2 1    m k m k 0.61803 1.61803 1  2  （3）求主振型 1.618 1 2 0.38197 : 1 2 11 1 12 21 11 1      k k k k m k Y Y   0.618 1 2 2.61803 : 22 12 2     k k k Y Y  1.618 1.0 1.0 0.618 第1振型 第2振型 （2）求频率 ( )( ) 0 2 2 2 2 1 2 2 k1  k2  m k  m  k  ( )( ) 0 2 12 21 2 1 22 2 k11  m k  m  k k  k11=k1+k2 k12=k21=-k2 k22=k2 代公式 若有 k k k m m m     1 2 1 2