第三讲导数与徽分的概念 ·21 (3) 四西+a)-)=i≤+)-)+)-b) h h g4+-+）-5 -+月-+6- bh =0@5+。-,g-的到 an =(a+b)f'(x）=(a+b)A 以上(1)，(2)，(3)使用一个思想方法：如果f'(。)存在，(h)→0时，有 -+-=f) (h) 【例2】设 0, x=0 又设f八x)在x=0处可导，求F(x)=f[p(x)]在x=0处的导数。 解：由导数定义，得 F(0))F()(] Acos]0) rcos」-fo)os lim- cos 2=f'(0)lg*cs=0 【例3】设f”(a)存在，求im@,二a。 x-a 解： o:aa-ea）-a±aa-a=na-oo）-1 x-a -limna)-aKz)-Kaj-na)-ar(a) 【例4】设f(x)=(x-a)p(x),p(x)在x=a处连续，求f'(a) 解：由导数定义，得 fa)=-@=g-2a-0=)=eoj x a 注意：由于没有p(x)在x=a处可导条件，所以，从 f'(x)=p(x)+(x-a)p'(x) f'(a)=p(a)+0=p(a)
·22 高等数学疑难解析 是错误的。 【例5】已知0)=0，了'(o)=2,求g器 解： 器=0+32-0.总=fo0)·23 【例61已知in）-+20=3,求l 解：由于 回)-+2型-古4+2-)3 得f'()=-9,因此，dyl=f"(x)=-9。 2.分段定义函数的导数 【例1】设 x -0<x<0 f(x)=, 0≤x≤1 2-x, 1<x<+∞ 求f'(x)。 解：当xe(-∞，0)时，'(x)=3x 当xG(0,1)时，f'(x)=2x； 当xe(1,+0)时，f'(x)=-1。 下面考查f(x)在分界点x=0与x=1处的可导性： 首先 f'(0)=m,0 由于 g:0=p:9.0 :0=:0.0 倍 f'(o=im),0=0 又由于 ==&山=2 -1 0-2=2:==2岩1 x-1 盈 i() 不存在，即f(x)在x=1处不可导。综上所述 3x2, -<x<0 f'(x)={2x, 0≤x<1 -1, 1<x<+∞
第三讲导数与微分的概念 ·23· 在x=1处，f(x)不可导 【例2】设 f八x)={ lo. x=0 求f'(x) 解：当x≠0时 f"(x)=2xsin+xcos子·(-）=2xsin-cos sin-0 由于 o)==5gin=0 得 f0e)=2an子-es女≠0 lo. x=0 【例3】讨论 n 在x=1处的可导性 解：由于 8烈=哥0层脚点. x-1 所以，八x)在x=1处不可导。但由于 igkD. 也可以说f(x)在x=1处的导数为无穷大，或f'(1)=。 综合以上三个例题，分段定义函数的求导方法可归纳为以下几点： (1)如果分段函数在各开区间内可导，可分别求出它们在各开区间内的导数。 (2)判断函数在分界点。处的可导性。一般方法为： 1)如果函数在分界点，的两侧由一个表达式表达，则需考查极限 x-%o 的存在性。例2为此种情况。 2)如果函数在分界点的两侧由不同的表达式表达，则需考查极限 与到 x一x0
·24· 高等数学疑难解析 的情况。若两者都存在且相等，则函数f代x)在x。处可导；否则，f(x)在。处不可导。例1和 例3都属于这种情况。 (二)B类（提高要求） 【例1】设f代x)在x=a的某邻域内有定义，则代x)在x=a处可导的一个充要条件为 (A)imna+)-fa)]存在： (B)四a+)a-h2存在： 2h (C)n@）-a-h2存在。 解：由于(A)可表示为 a+）-fa) m 1 =limKath)-Ka) h 故(A)等价于(x)在x=a处的右导数存在。 考虑f(x)=|x|,可验证在a=0处，(B)成立，但显然，(x)在x=0处不可导。 由于 ma）-a-2-ga-hh@ h 令-h=△x,得 eo)-Aa-=四a+a处-@ 即(C)为f八x)在x=a处可导的一个充要条件。 【例2】设f代x)在x=0处可导，且0)=0，f'(0)=2,试求 lim(1-cou) tan'x 解：由于 m=g1-e-A0-1-i0.1g ling(1-e 令h=1-cosx,得x→0时，h→0，从而 =g0四' tan'x fro'器="o)=l 【例3】设F()=im[x+T）-fx)小im兰，其中x)可导，求F()。 解：由于 升x+g）-fx)sin imr[x+g〉-x)]sin=lim ·x=∫'(x)mx
第三讲导数与微分的概念 25· 得 F(x)=f'(x)mx 【例4】设f(x)在(-∞，+∞)上有定义，对于任何x,y∈(-0，+∞)有f(x+y) =f(x)f八y),且f'(0)=1，试证明：对于任何x∈(-∞，+©)，有f'(x)=f八x)。 证明：因为对于任何x,y∈（-∞，+∞)有 f(x+y)=f八xfy) 取y=0,得 f八x)=fx)f(0) 即或者f八x)=0,或者f(0)=1。 如果fx)=0,命题得证；以下讨论(0)=1的情况：对于任何x∈(-0，+∞)有 =&+A®=四国-田=K42山 △x △x △x =)a0='o) △x 由于f'(0)=1,得f'(x)=fx)。 【例5】设 fax2+bx+c,x< f(x)= lln(1+x),x≥0 确定常数a,b,c使得f"(0)存在。 解：如果f八x)在x=0处可导，则(x)在x=0处必连续，因此有 lim(ax+bx+c)limln(1 +x)=f(0)=0 即c=0。又由于f"(0)存在，得 lig in()ti 即b=f'(0)=1。因此得 2ax+1,x<0 f'(x)= 为使f"(0)存在，需要有 m*王1 1 t安=m2a+-1=2a.-1 由此得a=-2。 【例6】求 in2+aa)”-2-si 解： 原式=ie2+a)°-2”-2-6ix)”+20 sinx