·16· 高等数学疑难解析 得0)=0。又由于 f0)=fx-x)=几x+(-)】=f(x)+f-x)=0 得八-x)=-f八x)。从而对于任意点0，有 lim[f(x)-f(o)lim[f(x)+f(*)limf(x)=f(0)=0 即im(x)=f(）,这表明f(x)在。处连续，由。的任意性，得f(x)在所有点连续。 【例4】讨论函数人)一六的连续性，若有同新点，男蓄其类显。 解：f(x)的定义域为(-0,0)U(0,1)U(1,+∞)，f八x)在其定义区间内连续，x=0, x=1为f(x)的间断点，下面判断其类型。由于 lime=e°=1 1 雪，店” 故x=0为f(x)的无穷间断点。又由于 lime点=lime六=+0，ime六=lme六=0 得 1 脚)=1店=0 1 卿)=卿，时1 得x=1为f八x)的跳跃间断点。 【例5】证明当n为奇数时，方程 x+a-+.+ax+a,=0 至少有一个实根。 证明：设f(x)=x+ax+.+ax+a.,则方程有实根等价于fx)有零点。由于 )=+a+.+ax+a,=(+g+.+8) 得 1imf(x)=-的，1imf(x)=+o 故存在x,<0,使得f(x,)=A<0,也存在名>0，使得(x)=B>0,所以fx)在区间 (x,）内必有零点，也就是方程 x+a1x+.+a-x+a,=0 必有实根介于x,与x,之间。 【例6】设f(x)在[0,1]上连缕，且f0)=f(1),证明：在[0,1]上至少存在 个点专，使得 )=5+2) 证明：令F(x)=x)-x+,得
第二讲函数的连续与间断 ·17 Fo)=o)-2),F2)=2)-)=2)-0) 如果0)=2)，则取5=0，结论成立。 如果0)≠)，得F(0)与F分》异号，故在(0,2)内，F()至少有-个零点，即 至少存在一个点专∈（0，)，使得F()=0,也就是至少存在一个点专∈[0,1]，使得 )=5+2) 【例7】设f(x)在[a,6]上连续，证明：对于任何正数A1,入2，在[a,b】上至少 存在一个点专，使得入，f(a)+2f(b)=(入，+A,)f()。 证明：因为(x)在[a,b]上连续，故f(x)在[a,b]上取得最大值M和最小值m,因 此 m≤f(a)≤M,m≤fb)≤M 又由于A,>0,A2>0,得 A1m≤A,fa)≤A,M,A2m≤A2fb)≤A,M 将上面两式相加，得 (A,+A2)m≤A1fa)+A2f(b)≤(A,+A2)M m≤4@）+Af)≤M A+: 由介值定理得，至少存在一个点专∈[a,b],使得 )=o）+) 入，+A2 即 A,f八a)+A2fb)=(A,+A2)f八5) 四、习题 (一)A类 1.设函数 ax+bx,<1 fx)=3,. x=1 l2a-bx, x>1 在x=1处连续，求a,b的值。 e-1 2.确定函数八)·x的连续区间，间断点及其类型。 3.证明存在某个数，使得sin=5-l。 4.设(x)在[0,1]上连续，最大值为1，最小值为0，证明至少存在一个点专∈[0， 1],使得f()=。 (二)B类 1.设函数
·18 高等数学疑难解析 a）。+sin+sin-(a+bains) rsinx 以x=0为可去间断点，试确定a,b的值。 2.讨论函数 ,2-1 八)=2+1 x≠0 1, x=0 在x=0处的连续性。 3.设f(x)在[0,2a]上连续，且f0)=2a),则在[0,2a]上至少存在一个点5 使得f)=f(专+a)。 5 7 16 4、证明方程，+，乙2+3=0有一个根介于1与2之间，另有一个根介于2与3之间。 5.试证明方程x+x+.+x+x=1在(0,1)内有唯一实根x,并求imx
第三讲导数与微分的概念 一、内容提要 (一】导数定义 设f(x)在。的某邻域内有定义，则f代x)在x。处的导数定义为 f"()=八+4)-2 A宝 或 "()=- (二)左、右导数 设f(x)在x的某邻域内有定义，则f八x)在x处的左导数定义为 ()=m+〉-) 或 f()=m）) x一x。 (x)在。处的右导数定义为 (）)=+h》-) 或 F)=e x一。 结论：八x)在处可导的充分必要条件是(x)在处既有左导数又有右导数且相等，即 4+》)=+)-) h h (三)导数的几何意义 (1)一般情况下，y=(x)的图形为一条曲线，(x)在x y=f)、 处的导数f(x)表示曲线y=(x)在点M(x,f八x)处切线 的斜率，即 f'()=tana(图31) (2)曲线y=f(x)在M(。,f(x)处的切线方程为 y-f)=f'()(x-) 曲线y=f(x)在M(。,八x)处的法线方程为 图3-1
·20 高等数学疑难解析 y-）=7r）'()*0) (四)微分概念 (1)设y=八x)在x的某邻域内有定义，如果函数的增量 Ay =f(xo+Ax)-f(xo) 可表示为 △Y=A△x+O(△x) 式中，A为常数；o(△x)为△x的高阶无穷小，则说函数y=fx)在x,处可微，A△x称为函数的 微分，记为 dy=A△x (2)如果y=f(x)在处可微，则y=x)在x处可导；反之，如果y=八x)在处 可导，则y=f八x)在。处可微，而且有 dy =f'(x)Ax =f'(xo)dx 二、重点、难点 重点：导数与微分的概念，分段定义的函数的导数。 难点：分段定义的函数的导数。 三、典型方法与例题 (一)A类（基本要求） 1.导数定义 【例1】设f(x)在处可导，且∫'()=A,求 )月-国， (2)四+3）-， h (9)回+-a,b为青数。 解：(1) -》-:- h -h 令-h=△x,得h→0时，△x→0，因此得 -》=-g西-典+-()=-4 h -h △x (2)四≤+3）-五)=3+3）- 3h 令3h=△x,得h→0时，△x一0，因此得 g+3-3+3九 h 3h -3四+a2-.) △