前 言 高等数学是工科院校的一门重要基础理论课，其教学质量的高低将直接影 响人才培养的质量。努力提高高等数学的教学质量是必要的。高等数学逻辑性 强，既有抽象思维又有推理演绎，初学者感觉有难度。如何帮助学生学习和消 化高等数学的教学内容，更好地掌握高等数学的知识并利用数学方法分析和解 决问题是高等数学教学的重要任务。实践证明在教学过程中穿插一定量的习题 课是消化教学内容、提高教学效果的必要措施。 高等数学习题课一般是采取老师总结教学内容、讲解典型例题、学生模仿 演练习题的传统教学方式。采取更好的习题课教学模式值得探讨。教师主导， 教学互动，内容分级，适量加入多蝶体辅助教学手段将会提高习题课的救学效 果。 本着上述指导思想，作者吸纳了一些有经验教师的意见，参考多部类似讲 义的思路和模式，编写了这部《高等数学疑难解析》，供教师教学和学生学习 参考。本书的主要特点是与教材同步，内容分级，以满足不同层次和不同类型 读者的需要。力求做到总结学习要点，升华理论方法，精析疑难问题，集概 念、理论、知识、技巧、经验于一体，提高学习效果。 本书具体结构为24讲，基本上是与教材对应，每章分为两讲，各讲结构 相同，包括内容提要，重点、难点，典型方法与例题，习题四个部分，其中重 点是第三部分，每一讲设计为两学时。具体如何使用可由主讲教师根据具体情 况进行安排。本书也可作为考研的辅导教材。 由于水平所限，书中不妥之处，恳请读者给予指正。 编者 2006年10月
目 录 第一讲数列与函数的极限 二、内容提要. 1 数列极限 (二）函数投限.1 (三)左、右极限. 1 (四）无穷小与无穷大.2 (五)授限运算法则.2 (六)极限存在准则、两个重要授限.2 (七)无穷小的比较 .3 二、重点、难点. 三、典型方法与例题 (一)A类（基本要求）》 .3 (二)B类（提高要求） 四、习题. 0010 (-）A类.10 ，(二）B米4.11 第二讲函数的连续与间断 一、内容提要. (一）函数的连续性 .12 (二)左、右连续 12 (三)函数间断 12 (四)复合函数的连续性 12 (五)闭区间上连续函数的性质. 13 二、重点、难点.13 三、典型方法与例题 ·(一)A类（基本要求） (二)B类（提高要求） 四、习题. (）A类.17 (二）B'.17 第三讲导数与微分的概念 一、内容提要 .19
·1· 目录 (一)导数定义. .19 (二)左、右导数 (三)导数的几何意义 19 (（四)微分概念. 20 二、重点、难点· 0 三、典型方法与例题. 20 (一)A类（基本要求） 20 (二)B类（提高要求） 24 四、习题 .26 (）月类44.04440t*4++26 (二)B类 .26 第四讲导数与微分法则 一、内容提要. .28 (一)基本初等函数求导公式.28 (二)和、差、积、 商求导法则 28 (三)复合函数求导法则 28 (四)反函数求导法则 28 (五)参数方程确定函数的求导法则 28 (六)高阶导数公式 (七)函数的徽分法则. 29 (八)微分近似计算的公式 29 二、重点、难点. 29 三、典型方法与例题 29 (一)A类（基本要求） (二)B类（提高要求） .33 四、习题 (一)A类 .36 (二）B类.36 第五讲微分中值定理与洛必达法则 一、内容提要. .37 (一)中值定理. .37 (二)洛必达法则 二、重点、难点 37 三、典型方法与例题. 38 (一)A类（基本要求） . 38 (二)B类（提高要求） 四、习题 46
录 ·Ⅲ· （-）A类. .46 （二)B类. .46 第六讲函数单调性与极值问题 一、内容提要.48 (一)函数的单调性 (二)函数的极值 (三)最大值、最小值问题 48 (四)函数的凸凹性与拐点 49 二、重点、难点 三、典型方法与例题. 49 (一)A类（基本要求） 49 (二)B类（提高要求） .52 四、习题. .55 .55 (二)B类. .56 第七讲不定积分（一） 一、内容提要.57 (一）不定积分的概念与性质 (二)基本积分表 .57 (三）积分方法. 58 二、重点、难点 58 三、典型方法与例题. 58 (一)A张（共本要求） (二)B类（提商要求） 61 四、习题. 63 (一）A类. 63 （二)B类 63 第八讲不定积分（二） 一、内容提要.64 (一）分部积分法 64 (二)有理函数的积分 (三)三角有理式积分 (四)简单无理式积分 ,65 二、重点、难点 66 三、典型方法与例题. 66 (一)A类（基本要求） 66 (二)B类（提高要求） 69
·N· 录 四、习题 .72 （一)A类. (二)B类 .72 第九讲定积分的概念与理论 、内容提要. .73 (一)定积分概念 (二)定积分的几何意义 .73 (三)完积分存在定理73 (四)定积公性质 （五)积分学基本公式.7 重点、点.+,74 三、典型方法与例题. .74 (一)A类（基本要求） (二)B类（提高要求） .78 四、习题.81 (）A类. (二)B类 .82 第十讲定积分的计算 、内容提要.83 (一)定积分的换元法 (二)定积分的分部法 .83 (三)常用积分等式 83 (四)无穷限的反常积分 83 （五)无界函数的反常积分. 84 (六)反常积分收敛性.8叫 二、重点、难点.8叫 三、典型方法与例题. (一)A类（巷本要求） 84 (二)B类（提高要求） 88 四、习题. .91 (二)B类. 第十一讲定积分的几何应用 一、内容提要 (一)平面图形的面积 .93 (二)空间立体的体积 (三)平面曲线的弧长 .94