第二章导数与微分 一、学习目的与要求 1、加深理解导数概念，并能利用导数解决一些具体问题。 2、熟练掌握求导法则及导数基本公式，能正确求出初等函数的导数。 3、熟练掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶、二阶导数的求法。 二、学习重点 导数概念及复合函数求导问题 三、内容提要 1、导数定义设函数y=fx)在x。的某邻域内有定义，对应于自变量的任一改变量△x, 函藏的变量为A=化+A-九，如果巴是-画飞+存在， Ar 则称f)在处可导，且称此极限值为fx)在点而处的导数，记作 fx,必l或yl。若记x=x+Ax则，)又可记为 点程典- 则称(x)、(x)分别是∫在。处的右导数与左导数，且 fx)存在台(x)=f(x人 2、可导与连续的关系可导→连续，不连续一不可导：反之，不一定成立。 3、若y=fx)在点x处的增量△y=f(x+△x)-f(x)=A△r+o(△x),其中A与△x无关， 则称f(x)在x处可微，并称A△r=f'(x)Ax为函数y在点x处的微分，记为=A△ 当f(x)在x处可微时，A=∫"(x)因此=∫"(x)Ar="(x)在 由上可知，导数了心)=张可表为函数的微分与自变量微分之商。可导台可微。 4、导数与微分的四则运算 设u=(x,y=(x)在x处可导，则
12 第二章 导数与微分 一、学习目的与要求 1、加深理解导数概念，并能利用导数解决一些具体问题。 2、熟练掌握求导法则及导数基本公式，能正确求出初等函数的导数。 3、熟练掌握隐函数和参数方程所确定函数的一阶、二阶导数的求法。 二、学习重点 导数概念及复合函数求导问题 三、内容提要 1、 导数定义 设函数 y = f (x) 在 0 x 的某邻域内有定义，对应于自变量的任一改变量 x ， 函数的改变量为 ( ) ( ) 0 0 y = f x + x − f x ，如果 x f x x f x x y x x + − = → → ( ) ( ) lim lim 0 0 0 0 存在， 则 称 f (x) 在 0 x 处可导，且称此极限值为 f (x) 在 点 0 x 处的导数，记作 0 0 ( ), | | 0 x x x x y dx dy f x = = 或 。若记 , ( ) 0 0 x = x + x 则f x 又可记为 . ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = → 若记 , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = + → + , ( ) ( ) ( ) lim 0 0 0 0 x x f x f x f x x x − − = − → − 则 称 ( ) 0 f x + 、 ( ) 0 f x − 分别是 f 在 0 x 处 的 右 导 数 与 左 导 数 ， 且 ( ) ( ) ( ). 0 0 0 f x f x f x + − 存在 = 2、可导与连续的关系 可导 连续，不连续 不可导；反之，不一定成立。 3、若 y = f (x) 在点 x 处的增量 y = f (x + x) − f (x) = Ax + o(x) ，其中 A与x 无关， 则称 f (x) 在 x 处可微，并称 Ax = f (x)x 为函数 y 在点 x 处的微分，记为 dy = Ax . 当 f (x) 在 x 处可微时, A = f (x) 因此, dy = f (x)x = f (x)dx 由上可知，导数 dx dy f (x) = 可表为函数的微分与自变量微分之商。可导 可微。 4、导数与微分的四则运算 设 u = u(x),v = v(x)在x 处可导，则
(u土y)=u±v, du±v)=du±d小 (cu)'=c'(c为常数)， d(cw)=cdhu(c为常数)； (w)'=y+w' d(uv)=vdu+udv; 白r=-m 12 ad的=d-o≠0 5、 在点x可导，且 在hf1orpx dy dy du 对于y=f(w,不论变量u是中间变量还是自变量，都有少=f(w)d,这一性质称为一 阶微分形式不变性。 6、隐函数求导，反函数求导 设y=)是方程Fx,)=0所确定的隐函数，则少可由方程F化，)=0两边对x求导 后解出。设函数y=f)在点x的某邻域内单调连续且在x处可导，(x)≠0，则y=∫(x) 的反函数=)在点：所对应的点y必可，且齐-会 针级微的9时建北华到会 7、参数式求导 设/r=0 之-在区间红，)上造续，可号且×0≠0则参数式确定的商数y=可 华且安8起为0则竖明-客在害本 dx x'(t) dt dx dt dxldt 8、高阶导数 如果y=(x)作为x的函数在点x处可导，则y的导数称为y=x)的二阶导数，且 记作y安，由定义了)=血+回，类的，二价号数的时数 Ar 称为三阶导数，一般地，y=f(x)的n-1阶导数的导数称为f(x)的n的阶导数，且记为
13 ( ) , ( ) ( 0). ( ) , ( ) ; ( ) ( ), ( ) ( ); ( ) , ( ) ; 2 2 − = − = = + = + = = = = v v vdu udv v u d v vu uv v u uv u v uv d uv vdu udv cu cu c d cu cdu c u v u v d u v du dv 为常数 为常数 5、复合函数的导数与微分 设 u =(x) 在点 x 处可导， y = f (u) 在点 x 所对应的点 u 处可导，则复合函数 y = f[(x)] 在点 x 可导，且 f [ (x)] (x). dx du du dy dx dy = = 对于 y = f (u), 不论变量 u 是中间变量还是自变量，都有 dy = f (u)du ，这一性质称为一 阶微分形式不变性。 6、隐函数求导，反函数求导 设 y = f (x) 是方程 F(x, y) = 0 所确定的隐函数，则 dx dy 可由方程 F(x, y) = 0 两边对 x 求导 后解出。设函数 y = f (x) 在点 x 的某邻域内单调连续且在 x 处可导， f (x) 0,则y = f (x) 的反函数 x =( y) 在点 x 所对应的点 y 处可导，且 1 . dx dy dy dx = 在计算反函数的二阶导数时要注意：一般， 1 . 2 2 2 2 dx d y dy d x 7、参数式求导 设 = = , ( , ) ( ) ( ) 在区间 y y t x x t 上连续，可导且 x (t) 0, 则参数式确定的函数 y = y(x) 可 导，且 ( ) ( ) x t y t dx dy = 记为 F(t) ,则 dt dx dt dF dx dt dt dF F t dx d dx d y / 1 [ ( )] 2 2 = = = 8、高阶导数 如果 y = f (x)作为x 的函数在点 x 处可导，则 y 的导数称为 y = f (x) 的二阶导数，且 记作 2 2 , ( ) dx d y y f x 或 ，由定义 x f x x f x f x x + − = → ( ) ( ) ( ) lim 0 。类似的，二阶导数的导数 称为三阶导数，一般地， y = f (x) 的 n −1 阶导数的导数称为 f (x) 的 n 的阶导数，且记为
减票即m国-典任+-山，函数的阶号数行在电表明 函数n次可微。 9、高阶导数的运算法则设u=x,v=(x)在x处n阶可导，则 (1)(u士)=±m:2)(c)m=cm(c为常数 (3)(m)m=∑C-(uo=u,o=y以 10、几个基本初等函数的n阶求导公式 (6mx9=sg+n大am=rm-业，(es州=eo+n5 a1+m=r-'-l: 1 0+ =-I'na 《a+,a0(ey=e (x")(m)=a(a-1).(a-n+1)xa-":(a)(m)=a'(Ina)"(a>0.a+l): 11、导数的几何意义 若函数y=fx)在点x处的导数fx)存在，则f"(xo)的值等于曲线y=fx)在 (,fx》处的切线斜率，且在(o,fx》处的切线方程为y-f)=f3,x-。 法线方程为y-f(o)= /-X)0)或x-名=0f,)=0 1 12、常用基本求导公式 (cy'=0(c为常数)： 1 (x"Y=ax; (sin x)'=cosx, (arccotx)=+ (cosx)'=-sinx, (e'y=e"; (tanx)'=sec2x. (a'Y'=a"lna
14 ( ) , ( ) n n n dx d y f x 或 即 x f x x f x f x n n r n + − = − − → ( ) ( ) ( ) lim ( 1) ( 1) 0 ( ) 。函数的 n 阶导数存在也表明 函数 n 次可微。 9、高阶导数的运算法则 设 u = u(x),v = v(x)在x处n 阶可导，则 （1） ( ) ; (n) (n) (n) u v = u v 2） ( ) ( ) cu (n) = cu (n) c为常数 （3） = − = = = n k k k n k n n u v C u v u u v v 0 ( ) ( ) ( ) (0) (0) ( ) ( , ). 10、几个基本初等函数的 n 阶求导公式 ); 2 (sin ) sin( ( ) x = x + n n ; ( 1) ( 1)! (ln ) 1 ( ) n n n x n x − − = − ); 2 (cos ) cos( ( ) x = x + n n ; (1 ) ( 1) ( 1)! [ln(1 )] 1 ( ) n n n x n x + − − + = − , 0; ( ) ( 1) ! ) 1 ( 1 ( ) + − = + + a ax b n a ax b n n n n x n x e = e ( ) ( ) a n a n x a a a n x − ( ) = ( −1) ( − +1) ( ) ； ( ) (ln ) ( 0, 1); ( ) a = a a a a x n x n 11、导数的几何意义 若函数 0 y = f (x)在点x 处的导数 ( ) 0 f x 存在，则 ( ) 0 f x 的值等于曲线 y = f (x)在 ( , ( )) 0 0 x f x 处的切线斜率，且在 ( , ( )) 0 0 x f x 处的切线方程为 ( ) ( )( ), 0 0 0 y − f x = f x x − x 法线方程为 ( )( ( ) 0) ( ) 1 ( ) 0 0 0 0 − − = − x x f x f x y f x 或 0( ( ) 0) x − x0 = f x0 = 12、常用基本求导公式 ; 1 1 ( ) 0( ); (arccos ) 2 x c c x − = 为常数 = − ; 1 1 ( ) ; (arctan ) 2 1 x x ax x a a + = = − ; 1 1 (sin ) cos ; ( cot ) 2 x x x arc x + = = − (cos ) sin ; ( ) ; x x x = − x e = e (tan ) sec ; ( ) ln ; 2 x x a a a x x = =
(cotx)'=-csc2x. 1x=安 (arcsin x)'= VI-x; 四、思考题 1、初等函数在其定义区间内是否一定可导？ 2、若函数在(~0，+0)内处处可导，则其导函数必处处连续，对吗？ 3、若f(x)为(-1，)内可导的偶函数，则f"(x)在(-1，)内是否必为奇函数？若 f"(x)）=5则f"(-x)=? 4、函数在一点可导的充要条件是什么？ 5、若曲线y=fx)处处有切线，则函数y=fx)必处处可导，对吗 6、可导的周期函数，其导函数是否必为周期函数？ 7、若y=fx)在(ab)内可导，其反函数在相应点是否必定可导？ 8、若f(x)与g(x)在(a,b)内可导，且f(x)≤g(x),则f"(x)sg'(x)对吗？ 9、设Φ(x)是单调连续函数f(x)的反函数，且fI0)=5,'10)=0.5,则中'（⑤）=？ 五、典型例题分析 x3,x≤0 例1研究函数f(x)= x'sin I ,x>0在点x=0处的连续性与可导性，并求f"(x)。问f(x) 在x=0处连续吗？ 分析f(x)为分段函数。而求分段函数的导数，通常如下进行 (1)判断在各段开区间内是否可导。如果可导，则在各段开区间内分别求导. (2)判断在各分段点处是否可导，此步是分段函数求导的关键。要判断分段函数在分断 点是否可导，首先要看它在该点是否连续，若不连续，叫在该点必不可导：其次，若在 分段点连续，满足了函数在一点可导的必要条件，再根据导数定义来判断函数在该点的 可导性，或用函数在一点可导的充要条件来判定在该点的可导性。 求解此问题应分成四个步骤。 解)因f0-0)=mf)=mr=0, f0+0)=m)=m产sm=0,(无穷小乘有界变量)
15 ; 1 (cot ) csc ; (ln | |) 2 x x = − x x = ( 0) ln 1 ; [log ] 1 1 (arcsin ) 2 = − = a x a x x x a 四、思考题 1、初等函数在其定义区间内是否一定可导？ 2、若函数在（- ，+ ）内处处可导，则其导函数必处处连续，对吗？ 3、若 f (x) 为 (−l,l) 内可导的偶函数，则 f (x) 在 (−l,l) 内是否必为奇函数？若 f (x0 ) = 5 则 ( ) 0 f −x =？ 4、函数在一点可导的充要条件是什么？ 5、若曲线 y = f (x) 处处有切线，则函数 y = f (x) 必处处可导，对吗？ 6、可导的周期函数，其导函数是否必为周期函数？ 7、若 y = f (x) 在(a,b)内可导，其反函数在相应点是否必定可导？ 8、若 f (x) 与 g(x) 在(a,b)内可导，且 f (x) ≤ g(x) ，则 f (x) g (x) 对吗？ 9、设 (x) 是单调连续函数 f (x) 的反函数，且 f (10) =5， f (10) = 0.5 ，则 (5) = ? 五、典型例题分析 例 1 研究函数 = , 0 1 sin , 0 ( ) 2 3 x x x x x f x 在点 x =0 处的连续性与可导性，并求 f (x) 。问 f (x) 在 x =0 处连续吗？ 分析 f (x) 为分段函数。而求分段函数的导数，通常如下进行： （1）判断在各段开区间内是否可导。如果可导，则在各段开区间内分别求导. （2）判断在各分段点处是否可导，此步是分段函数求导的关键。要判断分段函数在分断 点是否可导，首先要看它在该点是否连续，若不连续，则在该点必不可导；其次，若在 分段点连续，满足了函数在一点可导的必要条件，再根据导数定义来判断函数在该点的 可导性，或用函数在一点可导的充要条件来判定在该点的可导性。 求解此问题应分成四个步骤。 解（1） 因 (0 0) lim ( ) lim 0, 3 0 0 − = = = → − → − f f x x x x 0, 1 (0 0) lim ( ) lim sin 2 0 0 + = = = → + → + x f f x x x x （无穷小乘有界变量）
所以f0-0)=f0+0)=f(0)=0 故f(x)在x=0处连续。 x-0 f0=0g x-0 in sin0. (无穷小乘有界变量》 f2(0)=f(0)=0。 所以f(x)在x=0处可导，且f'(0)=0。 3x2 x<0 (3)f'(x)=0, x=0 1 ④因mfx)=m3x2=0m了)=m2xsn上-c0s,不存在 所以f'(x)在x=0处不连续。 例2若了)存在，求口+a△-B-A,其中以，B为不等于0的常数。 Ar 分析(1)已知条件是∫"(x)存在，所求是一个比值的极限，而函数在一点的导数定义为医 数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于0时的极限，因此，要求此极限必须紧扣条 件，利用导数定义。(2)自变量x的增量可以用△x表示，也可用一个常数乘△x来表示， 亦可用别的字母表示。从f(x+a·△x)观察知，自变量x在点x取得的增量应为a△x 从f(x-Bx)观察，自变量x在点x取得的增量应为(-B,△x)。要利用导数定义，还需 作适当的恒等变形 解将分式适当变形 原式=+a:A)-f-BA-f 16
16 所以 f (0 − 0) = f (0 + 0) = f (0) = 0 故 f (x) 在 x =0 处连续。 （2） lim 0, 0 ( ) (0) (0) lim 3 0 0 = = − − = − → − → − x x x f x f f x x x x x x f x f f x x 1 sin lim 0 ( ) (0) (0) lim 2 0 0 + → + → + = − − = = 0, 1 lim sin 0 = → + x x x （无穷小乘有界变量） f − (0) = f + (0) = 0。 所以 f (x) 在 x =0 处可导，且 f (0) = 0 。 （3） − = = , 0 1 cos 1 2 sin 0, 0 3 , 0 ( ) 2 x x x x x x x f x （4）因 lim ( ) lim 3 0, 2 0 0 = = → − → − f x x x x ) 1 cos 1 lim ( ) lim (2 sin 0 0 x x f x x x x = − → + → + ，不存在。 所以 f (x) 在 x =0 处不连续。 例 2 若 f (x) 存在，求 x f x x f x x x + − − → ( ) ( ) lim 0 ，其中 , 为不等于 0 的常数。 分析 （1）已知条件是 f (x) 存在，所求是一个比值的极限，而函数在一点的导数定义为函 数增量与自变量增量之比当自变量增量趋于 0 时的极限，因此，要求此极限必须紧扣条 件，利用导数定义。（2）自变量 x 的增量可以用△ x 表示，也可用一个常数乘△ x 来表示， 亦可用别的字母表示。从 f (x + x) 观察知，自变量 x 在点 x 取得的增量应为 x ， 从 f (x − x) 观察，自变量 x 在点 x 取得的增量应为 (− x) 。要利用导数定义，还需 作适当的恒等变形。 解 将分式适当变形 原式= x f x x f x f x x f x x + − − − − → [ ( ) ( )] ( ) ( )] lim 0