第十二章微分方程 一、学习目的与要求 1、会识别下列类型的一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次方程、一阶线性微分方 程、贝努利方程及全微分方程，并会通过适当变换化成上述微分方程。 2、熟练掌握可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程的解法，以及掌握齐次微分方程是 本次习题课的难点】 3、会利用微分方程解决几何与物理上的简单应用问题，（由实际问题建立微分方程是本次 习题课的难点，应通过各种教学环节来提高分析问题与解决问题的能力。) 4、熟悉下列几种特殊的高阶方程：y@=,y”=fx,y),y"=∫y)的降阶法。 5、了解二阶线性微分方程解的结构 6、熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的 解法。 7、掌握自由项f(x)=e“Pn(x)及f(x)=e“[P(x)cos@x+Pn(x)son]的二阶常系数 非齐次线性微分方程的解法。 8、知道欧拉方程及其解 9、会用微分方程解 二、学习重点 可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 可降阶的二阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的解法。 三、内容提要 1、基本理论 (1)微分方程解的基本定理（存在雌一性定理） 二阶线性微分方程 y+p(x)y+Q(x)y=f(x) (1) 及初始条件 x)=(x)=y (2) 如果px,Qx)在区间I上连续，则一定存在唯一的函数(x),它在I上满足方程(1)及 初始条件(2)。 注：此定理的作用是保证方得(1)在初始条件(2)下解的存在与唯一性。由于(1)的通解 中有任意常数出现，这往往使通解的形式不唯 一。但是对于满足初始条件(2)的特解则 是唯一的。即使有所不同，那也只是表达方式有别而已。 (ⅱ)二阶线性微分方程解的结构定理设方程(1)对应的齐次线性微分方程为： y+p(x)y+Q(x)y=0 (3) 如果(x),乃，()是方程(3)的两个线性无关的解，则y=Cy+C2y2是方程(3)的通解 粉
85 第十二章 微分方程 一、学习目的与要求 1、会识别下列类型的一阶微分方程：可分离变量的微分方程，齐次方程、一阶线性微分方 程、贝努利方程及全微分方程，并会通过适当变换化成上述微分方程。 2、熟练掌握可分离变量的微分方程，一阶线性微分方程的解法，以及掌握齐次微分方程是 本次习题课的难点. 3、会利用微分方程解决几何与物理上的简单应用问题，（由实际问题建立微分方程是本次 习题课的难点，应通过各种教学环节来提高分析问题与解决问题的能力。） 4、熟悉下列几种特殊的高阶方程： ( ), ' ' ( , '), ' ' ( , ') ( ) y f x y f x y y f y y n = = = 的降阶法。 5、了解二阶线性微分方程解的结构。 6、熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并知道高阶常系数齐次线性微分方程的 解法。 7、掌握自由项 f (x) = e xPm (x)及f (x) = e x [P1 (x) cosx + Pn (x)sonx]的二阶常 系数 非齐次线性微分方程的解法。 8、知道欧拉方程及其解法。 9、会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 二、学习重点 可分离变量的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 可降阶的二阶微分方程及二阶常系数线性微分方程的解法。 三、内容提要 1、 基本理论 （ⅰ）微分方程解的基本定理（存在唯一性定理） 二阶线性微分方程 y' '+ p(x)y'+Q(x)y = f (x) (1) 及初始条件 0 0 0 0 y(x ) = y , y'(x ) = y' （2） 如果 p(x), Q(x)在 区间 I 上连续，则一定存在唯一的函数 y(x) ,它在 I 上满足方程（1）及 初始条件（2）。 注：此定理的作用是保证方程（1）在初始条件（2）下解的存在与唯一性。由于（1）的通解 中有任意常数出现，这往往使通解的形式不唯一。但是对于满足初始条件（2）的特解则 是唯一的。即使有所不同，那也只是表达方式有别而已。 （ⅱ）二阶线性微分方程解的结构定理 设方程（1）对应的齐次线性微分方程为： y' '+ p(x)y'+Q(x)y = 0 （3） 如果 ( ) 1 y x , ( ) 2 y x 是方程（3）的两个线性无关的解，则 y=C1y1+C2y2 是方程（3）的通解
(其中C、C2为相互独立的任意常数，)如果yx)是()式的一个特解，则 y=G+C2乃2+y是方程(1)的通解。 注：此定理说明在求出方程(3)的两个线性无关的解后，可以方便地写出方程(3)的通解，在求 方程(1)的通解时首先应求出相应的齐次方程的通解，还要求出方程(1)的一个特解，最后将 二者结合起来，就构成方程(1)的通解.因此有以上定理的保证，在求解微分方程时，我们将 集中精力寻找(3)的线性无关解y和y以及方程(1)的特解y*,而不用操心通解的表达方式 2、基本方法 ()一阶微分方程基本类型与计算方法。 ()直接积分型：y'=fx)→y=f(x)k=y=∫fx)+y 因可分离变y80户斋-达=密-达 (3)齐次方程：y=(白→换元：u=上则u+x=y代入原方程化为可分离变量型 ④全微分方程：P,本+Q送，冰.满足号名红功0户川 )线性方程：y+py=Q)→y=efa(e+)e) y+p(x)y=Q(x)y" 伯努里方程： →y“=ef-aa(e+j-n0()ed) (山)高阶微分方程基本类型与计算方法： (1)积分降阶型：y回=fx)一通过次积分求解 (2)不显含y可降阶型：y"=fx,y)→换元y=p,y"=p降阶p=fp) (3).不显含x可降阶型：y"=f(x,y)→换元y=p, dx dy dx (4)、二阶常系数线性方程 y"+py+D=fx)→解的结构y=Y+y:其中Y为对应齐次方程y"+py+y=0 的通解y为原方程的一个特解 上述计算中常用到的计算方法有：特征方程特征根法，待定系数法，常数变易法，分离
86 （其中 C1 、 C2 为 相 互 独 立 的 任 意 常 数 , ）如果 y * (x) 是 (1) 式 的 一 个 特 解 , 则 * 1 1 2 2 y = c y + c y + y 是方程（1）的通解。 注:此定理说明在求出方程(3)的两个线性无关的解后,可以方便地写出方程(3)的通解,在求 方程(1)的通解时首先应求出相应的齐次方程的通解,还要求出方程(1)的一个特解,最后将 二者结合起来,就构成方程(1)的通解.因此有以上定理的保证,在求解微分方程时,我们将 集中精力寻找（3）的线性无关解 y1 和 y2 以及方程(1)的特解 y*,而不用操心通解的表达方式. 2、基本方法 (I) 一阶微分方程基本类型与计算方法。 (1) 直接积分型： y' = f (x) y = f (x)dx = + x x y f x dx y 0 0 ( ) (2) 可分离变量型： = = = f x dx g y dy f x dx g y dy y f x g y ( ) ( ) ( ) ( ) ' ( ) ( ) (3) 齐次方程： ' ( ) 换元 : 则u xu' y'代入原方程化为可分离 变量型 x y u x y y = f = + = (4) 全微分方程： p(x, y)dx + Q(x, y)dy 。满足 du x y u x y c x Q y p = = = ( , ) 0 ( , ) (5) 线性方程： y p x y Q x y e c Q x e dx p x dx p x dx + + = = − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ） 伯努里方程： ( (1 ) ( ) ) ' ( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( ) 1 y e c n Q x e dx y p x y Q x y n p x d x n p x d x n n + − = + = − − − − (II) 高阶微分方程基本类型与计算方法： （1） 积分降阶型： y (n) = f (x) 通过n次积分求解 （2） 不显含 y 可降阶型： y' ' = f (x, y') 换元y' = p, y' ' = p'降阶p' = f (x, p) (3). 不显含 x 可降阶型： y'' = f (x, y') 换元y' = p, '' f (y, p) dy dp p dy dp p dx dy dy dp dx dp y = = = = （4）、二阶常系数线性方程 , . '' ' ( ) : '' ' 0 的通解 为原方程的一个特解 解的结构 其中 为对应齐次方程 + + = = + + + = y y py qy f x y Y y Y y py qy 上述计算中常用到的计算方法有：特征方程特征根法，待定系数法，常数变易法，分离
变量法，换元法以及全微分方程积分因子法等。虽然不同类型的微分方程有不同的计算方法， 但由于不同方程类型可以适当转换，故同一个方程可以有不同的求解方法，希望读者在学习 甲灵活运用 四、思考题 1、y"+o2y=0是几阶微分方程？函数y=Asm(r+p)(A、o为任意常数，p为常数) 是微分方程的解吗？是通解吗？ 2、微分方程的通解是否包含了所有特解？ 3、函数y= (©为任意常数)是不是微分方程y'=y2的通解？方程y'=y除此解外 r+c 还有其它解吗？ 4、线族x2+Cy2=4(C为任意常数)满足什么微分方程？ 5、可分离变量的微分方程一定是全微分方程。对吗？ 6、识别下列微分方程的类型： (1)y=xe*Iy. (2)(e+y-e)h+(er+e)=0 (3)(x+-d=0 (4) (5)y=x+yinx (6(292-yk+x=0 ()0-3x2t-(4y-x=0 、对微分方程y=fx,y)及y"=fy,y)利用降阶法求解时均设y=P,试问，前一个方 程在所作变量代换下，二阶导数y"虫：而第二个方程，二阶导数y”则必须表示成 y=P串这是为么 8、易观察到函数=e及2=2e均为线性微分方(x-1)y-+y=0的特解，试问： 1)y=+62是否为上述方程的解？是通解吗？为什么？(2)如不是通解。你能 否再找出一个与y或y?是线性无关的特解？并写出方程的通解。 9、对于常系数齐次线性微分方程：y-y=0,当分别是2、3、4时，请考虑对应方程的通 解 10、对下列各常系数齐次线性微分方程，所设特解哪个是正确的？ (1)y"-y"=2x2-1
87 变量法，换元法以及全微分方程积分因子法等，虽然不同类型的微分方程有不同的计算方法， 但由于不同方程类型可以适当转换，故同一个方程可以有不同的求解方法，希望读者在学习 中灵活运用！ 四、思考题 1、 '' 0 2 y + y = 是几阶微分方程？函数 y = Asin(x +) （ A、 为任意常数， 为常数） 是微分方程的解吗？是通解吗？ 2、微分方程的通解是否包含了所有特解？ 3、函数 x c y + = − 1 （c 为任意常数）是不是微分方程 2 y = y 的通解？方程 2 y = y 除此解外 还有其它解吗？ 4、 线族 4 2 2 x + Cy = （C 为任意常数）满足什么微分方程？ 5、 可分离变量的微分方程一定是全微分方程。对吗？ 6、 识别下列微分方程的类型： （1） ' ln ; 2 y xye y x = （2） ( − ) +( + ) = 0 + + e e dx e e dy x y x x y y （3） (x + y)dy − dx = 0 （4） ; 3 5 2 ' 2 2 4 3 x y x xy y − = （5）yˊ ; ln ln x x x + y x = (6) (2 ) 0 2 xy − y dx+ xdy = (7) ( 3 ) (4 ) 0. 2 y − x dx− y − x dy = 7、 对微分方程 y' = f (x, y')及y'' = f (y, y') 利用降阶法求解时均设 y' = p ，试问，前一个方 程在所作变量代换下，二阶导数 dx dp y' ' = ；而第二个方程，二阶导数 y 则必须表示成 dy dp y = p ，这是为什么？ 8、 易观察到函数 y1 = e x及y2 = 2e x均为线性微分方程(x −1) y − xy + y = 0 的特解，试问： （1） 1 1 2 2 y = c y + c y 是否为上述方程的解？是通解吗？为什么？（2）如不是通解。你能 否再找出一个与 y1 或 y2 是线性无关的特解？并写出方程的通解。 9、 对于常系数齐次线性微分方程： 0 ( ) y − y = n ,当 n 分别是 2、3、4 时，请考虑对应方程的通 解。 10、对下列各常系数齐次线性微分方程，所设特解哪个是正确的？ （1） ' ' ' ' ' 2 1 2 y −y = x −
特解：(1)y=ar2+bx+C,(2)y广=x(amr2+bx+c(3)y=x2(ar2+br+c (2)y(4)-y=sin3x 特解：(1)y=Asin3x(2)y=Acos3r+Bsn3x,(3)y'=x(Acos3x+Bsin3x) (3)y(4)-y=e*+3sinx 特解：(1)y'=Ae+Bsinx,(2)y'=Ae2+Bsin x+Ccos3 (3)y'=x(Ae*+Bsn x+Ccosx) 五、典型例题分析 例1、求微分方程：y cigx+y=-3的通解 解：将方程分离变量，得)十-g 两边积分有：l(3+y)=h(cosx)+lhC1所以微分方程的通解为y=Ccosx-3 说明：如将微分方程化为y+Wgx=3gx这是线性微分方程，于是也可按线性微分方程求解。 例2，设连续函数y(x)满足方程：∫20+P+y0d]=x(x),且y1)0,试求函数y(x) 分析：此题所求未知函数x)出现在积分号下，这样的方程称为积分方程，根据条件与所给方 程知yx)可导，为此将积分方程两边对X求导，把问转化为求微分方程满足一定初始条 件的解。 解：将方程两边对x求导得2y+√x2+y2=y+xy 即盘士+白 这是齐次微分方程，令y=得：业=+口 为可分离变量的微分方程，分离变量并积分有 品∫品-停u++)=hx+hC 即： u+1+2=Cx或：y+x2+y2=Cx2 由初始条件：)=0，得C=1所以y+Vx2+y2=x2
88 特解：（1） ; * 2 y = ax + bx + c （2） ( ); * 2 y = x ax +bx + c （3） ( ); 2 2 y = x ax +bx+c • （2） y y sin 3x (4) − = 特解：（1） sin 3 ; * y = A x （2） cos3 sin 3 ; * y = A x + B x （3） ( cos3 sin 3 ); * y = x A x + B x （3） y y e x x 3sin (4) − = + 特解：（1） sin ; * y Ae B x x = + （2） sin cos ; * y Ae B x C x x = + + （3） ( sin cos ); * y x Ae B x C x x = + + 五、典型例题分析 例 1、求微分方程： y'ctgx + y = −3 的通解 解：将方程分离变量，得 tgxdx y dy = − + 3 两边积分有： 1 1n(3+ y) = ln(cos x) + ln c 所以微分方程的通解为 y = Ccosx −3 说明：如将微分方程化为 y'+ytgx = 3tgx, 这是线性微分方程，于是也可按线性微分方程求解。 例2、设连续函数y(x)满足方程： + + = x y t t y t dt xy x 0 2 2 [2 ( ) ( ) ] ( ),且y(1)=0,试求函数y(x). 分析：此题所求未知函数 y(x)出现在积分号下，这样的方程称为积分方程，根据条件与所给方 程知 y(x)可导，为此将积分方程两边对 x 求导，把问转化为求微分方程满足一定初始条 件的解。 解：将方程两边对 x 求导得 2 ' 2 2 y + x + y = y + xy 即： 2 1 ( ) x y x y dx dy = + + 这是齐次微分方程，令 y = ux 得 2 1 u dx du x = + 为可分离变量的微分方程,分离变量并积分有： = + = + , 1 , 1 2 2 x dx u du x dx u du ln( 1 ) ln ln , 2 u + +u = x + C 即： u + + u = Cx 2 1 或： 2 2 2 y + x + y = Cx 由初始条件： y(1) = 0,得C =1 所以 , 2 2 2 y + x + y = x
散所求函数为：y=x-0 例3、求微分方程(1-x)y+y=x满足初始条件0)=2的特解 分析：方程(1-x)少+y=x是一阶非齐次线性微分方程，可采用公式解法及常数变易法，在 使用公式解法时，要注意将线性微分方程化成标准型y+P(x)少=Q(x) 州法：专y己与标准微分方较：P()=已子@国：吉 故其通解为： y=e气k+dea可ek+d =-划+d=-达+d =0-之1-+d 由初始条件0)=2，得C=1,于是所求特解为： y=0-+-0+ 解法2、常数变易法 先求对应齐次线性微分方程(1-xy+y=0的通解，解为：)=c1-x) 又由常数变易法，设所求特解为： y=C(x1-x,0)y=C(x1-x)-C(x) 将它们代入非齐次线性微分方程。得 C'(x1-x)2=x, c)-0-x cw-=2+1-*e 取C=0故所求非齐次线性微分方程的通解为： y=y+y=c1-x)+1+1-x)h1-x)
89 故所求函数为： ( 1). 2 1 2 y = x − 例 3、求微分方程 (1− x) y'+ y = x 满足初始条件 y(0) = 2 的特解 分析：方程 (1− x) y'+ y = x 是一阶非齐次线性微分方程，可采用公式解法及常数变易法，在 使用公式解法时，要注意将线性微分方程化成标准型: y + P(x) y = Q(x) 解法 1： x x y x y − = − + 1 1 1 ' 与标准型微分方程比较有： , 1 1 ( ) x P x − = x x Q x − = 1 ( ) 故其通解为： ] 1 [ 1 1 + − = − − − e dx c x x y e x dx x dx = ] 1 [ ln(1 ) (1 ) e dx c x x e x In x + − − − − = ] (1 ) (1 )[ 2 + − − dx c x x x ) ] 1 1 (1 ) 1 (1 )[ ( 2 + − − − = − dx c x x x = ln(1 ) ] 1 1 (1 )[ x c x x + − + − − 由初始条件 y(0) = 2 ，得 C=1，于是所求特解为： ln(1 ) 1] 1 1 (1 )[ + − + − = − x x y x 解法 2、常数变易法 先求对应齐次线性微分方程 (1− x)y'+y = 0的通解,解为： y = c(1− x) 又由常数变易法，设所求特解为： ( )(1 ), * y = C x − x ( ) '( )(1 ) ( ) * y = C x − x −C x 将它们代入非齐次线性微分方程。得 '( )(1 ) , 2 C x − x = x 2 (1 ) '( ) x x C x − = + − + − = − = x c x dx x x C x ln(1 ) 1 1 (1 ) ( ) 2 1 取 C1=0 故所求非齐次线性微分方程的通解为： (1 ) 1 (1 )ln(1 ) * y = y + y = c − x + + − x − x