第五章定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解定积分的定义，熟悉定积分的有关性质。 2、加深理解牛顿一一莱布尼兹公式的内容及其意义，能熟练地应用此公式计算定积分。 3、堂握变上限函数的极限、导数、极值等问题的求法。 4、熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 5、知道广义积分，掌握两类广义积分的计算 二、学习重点 定积分的换元积分法与分部积分法 三、内容提要 1、定积分的定义及性质 ①定文广d=m之fAx(与a,b划分及取法无关A=盟△x ∫fx)k=-∫fx)k∫2fx=0. 由定义可知，定积分值与积分变量的记号无关：∫心fx)达=∫心fd (I)几何意义 当fx)≥0时，∫f(x)d的值等于y=f(x),x=a,x=b(a<b)及y=0四条线所围成 的曲边梯形面积 (山)可积函数类 下列函数均可积： (i)fx)在[a,句连续： (i)fx)在[a,b]单调有界： (ii)fx)在[a,b]有界且至多有有限个第一类间断点。 (IV)性质假设fx)在所涉及区间可积，则下列性质成立： (i)线性性质 ∫kf)士k:gx)达=k∫fx)±k∫心gx达 (i)区间可加性∫fx)k=∫fx)+∫fx)k. (im)比较性质若f)≥gx,xea,则∫fx≥∫”g(x) 特别有 'rdSrld. (iv)估值定理设M=ax{fx)川x∈[a,b]B,m=min{fx)川x∈[a,b]}, m(b-ad)≤∫fx)d≤Mb-a)
56 第五章 定积分 一、学习目的与要求 1、加深理解定积分的定义，熟悉定积分的有关性质。 2、加深理解牛顿——莱布尼兹公式的内容及其意义，能熟练地应用此公式计算定积分。 3、掌握变上限函数的极限、导数、极值等问题的求法。 4、熟练掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 5、知道广义积分，掌握两类广义积分的计算 二、学习重点 定积分的换元积分法与分部积分法 三、内容提要 1、定积分的定义及性质 （I）定义 ( ) lim ( ) ( [ , ] , max{| |}) 1 1 0 i i n i b a n i i i f x dx = f x a b = x = → 与 划分及 取法无关 ( ) = − ( ) ; ( ) = 0. f x dx f x dx f x dx a a b a a b 由定义可知，定积分值与积分变量的记号无关： = b a b a f (x)dx f (t)dt. （II）几何意义 当 f (x) ≥0 时， b a f (x)dx 的值等于 y = f (x), x = a, x = b(a b)及y = 0 四条线所围成 的曲边梯形面积。 （III）可积函数类 下列函数均可积： （i） f (x) 在 [a,b] 连续； （ii） f (x) 在 [a,b] 单调有界； （iii） f (x) 在 [a,b] 有界且至多有有限个第一类间断点。 （IV）性质 假设 f (x) 在所涉及区间可积，则下列性质成立： （i）线性性质 = b a b a b a k f (x) k g(x)dx k f (x)dx k g(x)dx. 1 2 1 2 （ii）区间可加性 = + b a c a b c f (x)dx f (x)dx f (x)dx. （iii）比较性质 若 f (x) ≥ g(x), x[a,b] ，则 f x dx b a ( ) ≥ ( ) . b a g x dx 特别有 b a f (x)dx ≤ b a | f (x) | dx. （iv）估值定理 设 M = max{ f (x) | x [a,b]|},m = min{ f (x) | x [a,b]} , 则 m(b − a) ≤ b a f (x)dx ≤ M (b − a)
(v)中值定理设f)在[a,连续，g(x)在[a,可积且不变号，则35∈[a,b] 使∫fx)gx)=fgx)k,特别，当gx)=1时，有 J"f(x)d=f(EXb-a). 2、变上限积分函数 定义x∈[a,b,设积分f)d存在，则称F(x)=∫f)d为变上限积分或变上 限函数或积分上限函数。 名装生社摄有下：因-会a-网 特别地，当G)=∫f0dh,其中A,%可导，则有 G'(x)=fe:(x)lo(x)-fo(xlo(x). 3、定积分的计算 (I)Newton-Leibniz公式 设fx)在[a,连续，F'(x)=fx),则fx)d=F(b)-F(a)二F(x) ()定积分换元法若p(a)=a,p(B)=b,则∫。fx)d=∫几p·p'u)d山 ()定积分的分部积分法设u(x,(x)在a,]上的导数连续，则 ∫ux)p'(x)dk=u(x)rxe-∫rx)u'(x)dk. 4、广义积分 ()无穷区间的广义积分 定义为∫店fx)k=m∫了x)达，∫广fx)达=m∫fxd若等式右边的极 限存在，称左边的广义积分收敛，否则称发散。 定义∫fx)d=m了x)达+m∫fx)d,其中a,b的变化相互独立，只要 等式右边有一个极限不存在，则等式左边的广义积分发散。 ()无界函数的广义积分 设fx)在(a,b]连续，fx)在x=a的某右邻域无界，则定义 ∫fx=m∫f=m∫fx 57
57 （v）中值定理 设 f (x) 在 [a,b] 连续， g(x) 在 [a,b] 可积且不变号，则 [a,b]， 使 = b a b a f (x)g(x)dx f ( ) g(x)dx, 特别，当 g(x) =1 时，有 = − b a f (x)dx f ( )(b a). 2、变上限积分函数 定义 = x a x a x [a,b],设积分 f (t)dt存在,则称F(x) f (t)dt 为变上限积分或变上 限函数或积分上限函数。 若 f 连续，变上限函数有下列性质： ( ) ( ). ( ) ( ) = = = x a f x dt f x dx d dx dF x F x 特别地,当 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) , , 2 1 = x x G x f t dt 其中 可导，则有 ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ). 2 2 1 1 G x = f x x − f x x 3、定积分的计算 （I）Newton-Leibniz 公式 设 f (x) 在 [a,b] 连续， F(x) = f (x) ，则 ( ) ( ) ( ) ( ) . b a b a f x dx F b F a F x = − （II）定积分换元法 若 () = a,( ) = b, 则 = b a f x dx f t t dt ( ) [( )] ( ) . （III）定积分的分部积分法 设 u(x),v(x)在[a,b] 上的导数连续，则 = − b a b a b u(x)v (x)dx [u(x)v(x)]a v(x)u (x)dx. 4、广义积分 （I）无穷区间的广义积分 定义为 + →+ = b a b a f (x)dx lim f (x)dx, − →− = b a b a f (x)dx lim f (x)dx.若等式右边的极 限存在，称左边的广义积分收敛，否则称发散。 定义 ( ) lim ( ) lim ( ) , →− →+ + − = + b b c c a a f x dx f x dx f x dx 其中 a,b 的变化相互独立，只要 等式右边有一个极限不存在，则等式左边的广义积分发散。 （II）无界函数的广义积分 设 f (x)在(a,b] 连续， f (x)在x = a 的某右邻域无界，则定义 = = → → + + + b a b a b c a c f (x)dx lim f (x)dx lim f (x)dx , 0
若等式右边的极限存在，则称等式左边的广义积分收敛，否则称发散，x=称为奇点。 类似可定义x=6为奇点的情况以及奇点出现在(ab)内部的情况 1、定积分定义中所说的和式三f(传)△x,的极限存在，特别要强调两点是什么？ 2、函数f(x)在区间[ab上可积的充分条件是什么？必要条件是什么？ 3、当函数fx)在[a,b]上具有原函数时，则fx)在[a,b]上一定可积吗？试考察函数 =0 4、用换元积分法计算定积分时要注意些什么？若用两种不同方法计算定积分1=∫x产d在 可得出两个不同的结果： w1-小rh写北背景a1-了rh空分-0 你认为哪个是对的，而另一个错在什么地方？ 5、在定积分∫。x-x本中，用x=sn1换元计算行吗？为什么 6用分部积分法计第定积分1-合如下：设=亡小一女，周 x(In x) 即合=1+·益果得：1.试视明这个误是样产生物 小2安=-2，此结果对吗：为么 及由于商数四产产行在级（国四内为音福数因此。有广千示本=0 所以广义积分收敛，此结论对吗？ 9、如下的几个定积分常用公式是怎样推导出来的： (1)∫fx)=∫[fx)+f-x,(2)若fx)为奇函数，则fx)=0:
58 若等式右边的极限存在，则称等式左边的广义积分收敛，否则称发散， x = a 称为奇点。 类似可定义 x = b 为奇点的情况以及奇点出现在（ a,b ）内部的情况。 四、思考题 1、定积分定义中所说的和式 i i n i f x = ( ) 1 的极限存在，特别要强调两点是什么？ 2、函数 f (x) 在区间[a,b]上可积的充分条件是什么？必要条件是什么？ 3、当函数 f (x) 在[a,b]上具有原函数时，则 f (x) 在[a,b]上一定可积吗？试考察函数 = − = 0, 0 ,0 1 1 cos 1 2 2 sin ( ) 2 2 x x x x x x f x 4、用换元积分法计算定积分时要注意些什么？若用两种不同方法计算定积分 − = 1 1 2 I x dx ， 可得出两个不同的结果： （1） − = = − = + = 1 1 1 1 2 3 ; 3 2 3 1 3 1 3 1 I x dx x （2） − = − = = 1 1 1 1 2 0 2 1 2 I x dx tdt 令x t 。 你认为哪个是对的，而另一个错在什么地方？ 5、在定积分 − 3 0 3 2 x 1 x dx 中，用 x = sin t 换元计算行吗？为什么？ 6、用分部积分法计算定积分 = 3 2 x ln x dx I 如下：设 dx x dv x u 1 , ln 1 = = ，则 , ln , (ln ) 2 v x x x dx du = − = 于是 , (ln ) 1 ln (ln ) 3 2 3 2 2 = = + x x dx x x x dx I 即 = + 3 2 3 2 2 (ln ) 1 ln x x dx x x dx ，结果得出：0=1，试说明这个错误是怎样产生的？ 7、因为 2 ( 2) 1 ( ) − = x f x 的一个原函数为 x F x − = 2 1 ( ) ，于是根据牛顿—莱布尼兹公式，有 = − − = − 3 1 3 2 1 2 2 1 (x 2) x dx ，此结果对吗？为什么？ 8、由于函数 2 1 ( ) x x f x + = 在区间 (−,+) 内为奇函数，因此，有 − = + 0 1 2 dx x x 所以广义积分收敛，此结论对吗？ 9、如下的几个定积分常用公式是怎样推导出来的： （1） − = + − a a a f x dx f x f x dx 0 ( ) [ ( ) ( )] ; （2）若 f (x) 为奇函数，则 − = a a f (x)dx 0 ；
(3)若f)为偶函数，则二fx)本=2fx)d (4)若f)是周期为T的函数，则 ”fx达=fe,或f=厚 (5)fsnx达=J店f(cos.x):(6)f(sin d=2ff6nx (7)(sin df(sin dr. -少-n-3).3-1.m为正偶数) (8)后sn”x=j后cos”xd= C22o内E奇 n-(n-2).5.3 五、典型例题分析 1 1 例1求一an-交+m-屏 分析用定积分求这类和式的极限，关键是选取适当的可积函数与积分区间，将所求和式的 极限转化为某函数积分和的极限，从而转化成定积分。 解 _1 1131 m店府 1 由此可知以上和式是函数f(x)= 4一在区间0，止的积分和，又因为该肠数在区向 心】上连线，所以定积分字血存在，故 园中女号 1 1 1 J。x-0p)dh 例2设函数()连续，试求期”5nx
59 （3）若 f (x) 为偶函数，则 − = a a a f x dx f x dx 0 ( ) 2 ( ) ; （4）若 f (x) 是周期为 T 的函数，则 + − − + = = T T a T a T T a T a f x dx f x dx f x dx f x dx 0 2 2 2 2 ( ) ( ) ,或 ( ) ( ) ; （5） = 2 0 2 0 (sin ) (cos ) ; f x dx f x dx （6） = 0 2 0 f (sin x)dx 2 f (sin x)dx; （7） = 0 0 (sin ) ; 2 xf (sin x)dx f x dx （8） − − − − − − = = 2 0 2 0 1( ) ( 2) 5 3 ( 1) ( 3) 4 2 ( ) ( 2) 4 2 2 ( 1) ( 3) 3 1 sin cos 为正奇数 为正偶数 n n n n n n n n n n xdx xdx n n 五、典型例题分析 例 1 求 ) 4 1 4 2 1 4 1 1 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n − + + − + − → 。 分析 用定积分求这类和式的极限，关键是选取适当的可积函数与积分区间，将所求和式的 极限转化为某函数积分和的极限，从而转化成定积分。 解 2 2 2 2 2 4 1 4 2 1 4 1 1 n n n n − + + − + − = = − = − + + − + − n i n n i n n n n n 2 2 2 1 2 4 ( ) 1 1 4 ( ) 1 ) 2 4 ( 1 ) 1 4 ( 1 1 由此可知以上和式是函数 2 4 1 ( ) x f x − = 在区间[0,1]上的积分和，又因为该函数在区间 [0，1]上连续，所以定积分 − 1 0 2 4 1 dx x 存在，故 ) 4 1 4 2 1 4 1 1 lim ( 2 2 2 2 2 n n n n n − + + − + − → = = → = − = − n i n dx x n n 1 i 1 0 2 2 . 6 4 1 1 4 ( ) 1 lim 例 2 设函数 (x) 连续，试求 x x t t dt x x 2 0 0 sin ( ) ( ) lim − →
分析这是含积分上限函数的极限问题，属“0型，符合使用罗比塔法则求极限的条件。在 利用罗比塔法则求极限时，分子对x求导应注意，被积函数中所含变量x相对于积分变 量1而言是常量，从而可将分子拆成两项，且x可提到积分号外面。 ∫x-)p0dxfp0d-∫ip0)d ndt 0) m2x=2 例3证明函数fx)=1-)n(1+n)d在区间0，+∞]上的最大值不超过”，其中n为正整 证(x)是积分上限函数，根据变上限求导定理，有 f"(x)=(1-x)n1+m).令f'(x)=0,得x=0,x=1. 而fO)=0,当0<x<时，∫'(x)>0,当x>时，∫'(x)<0,所以函数f(x)在x=1处有极大值 (此处即最大值)。当1≥0时，有0≤n(1+≤m, 所以f0≤-ndh=君证华. :可原 分折发积画数)+如。相子子上道线益定积分作在根据被积西数是三角西 数有理式的特点，可用换元法令1=an化成有理函数的积分：如果被积函数分子、 分母同乘1-5血)，又可转化为函数-即的积分：也可利用公式 cos- ∫x)女=∫6L/x)+-x达计算，且用此法最为简便， 解 点 如果设x=-1, r点-点 m值高-i恤=女-2
60 分析 这是含积分上限函数的极限问题，属 “ ” 0 0 型，符合使用罗比塔法则求极限的条件。在 利用罗比塔法则求极限时，分子对 x 求导应注意，被积函数中所含变量 x 相对于积分变 量 t 而言是常量，从而可将分子拆成两项，且 x 可提到积分号外面。 解 x x t dt t t dt x x t t dt x x x x x 2 0 0 0 2 0 0 sin ( ) ( ) lim sin ( ) ( ) lim − = − → → . 2 (0) 2cos 2 ( ) lim sin 2 ( ) lim 0 0 0 = = = → → x x x t dt x x x 例 3 证明函数 = − + x f x t nt dt 0 ( ) (1 )ln(1 ) 在区间[0，+ ]上的最大值不超过 6 n ，其中 n 为正整 数。 证 f (x) 是积分上限函数，根据变上限求导定理，有 f (x) = (1− x)ln(1+ nx). 令 f (x) = 0,得x = 0, x =1. 而 f (0) = 0,当0 x 1时, f (x) 0,当x 1时, f (x) 0,所以函数f (x)在x =1 处有极大值 （此处即最大值）。当 t ≥0 时，有 0≤ ln(1+ nt) ≤ nt, 所以 f (1) ≤ − = 1 0 . 6 (1 ) n t ntdt 证毕。 例 4 计算 − + 4 4 1 sin x dx 。 分析 被积函数 ] 4 , 4 [ 1 sin 1 ( ) − + = 在 x f x 上连续，故定积分存在，根据被积函数是三角函 数有理式的特点，可用换元法令 2 tan x t = 化成有理函数的积分；如果被积函数分子、 分母同乘 (1− sin x) ，又可转化为函数 x x 2 cos 1− sin 的积分；也可利用公式 − = + − a a a f x dx f x f x dx 0 ( ) [ ( ) ( )] 计算，且用此法最为简便。 解 − − + + + = + 0 4 4 0 4 4 1 sin 1 sin 1 sin x dx x dx x dx 如果设 x = −t ， − − = − = − − = + 0 4 0 4 4 0 4 0 , 1 sin 1 sin 1 sin 1 sin x dx t dt t dt x dx 所以 − = = − + + = + 4 4 4 0 4 0 2 2 cos ) 2 1 sin 1 1 sin 1 ( 1 sin x dx dx x t t dx