第五章定积分 1,如何理解定积分的定义？ 对于定积分的定义，应注意以下几点： (1)定义中强调的是对区间[a,b)]分割的任意性和点5在[x1,x]上的取法的任意性，这也 就是说对于一个在有限区间[a,b]上有界的函数f(x),对于[a,b]的任意分割以及点乐在 [x,x】上的任意的取法，相应的和式的极限都存在，且都是同一个确定的常数，才能说明 函数的定积分是存在的：也可以反过来理解，若能找出区间[a,b]的两种不同的分割以及点 的两种取法（可以相同，也可以不相同）或[a,b]的同一分割以及5的两种不同的取法， 得到的两个不同的和式的极限存在，但是不相等，或者找到[a,b]的某一分割以及点的某 一种取法，相应的和式的极限不存在，由此就可以推出函数的定积分是不存在的。在定积分 存在的条件下，定积分的值与区间[a,b]的分割及点，取法无关。 (2)在定义中，分割的区间[】的个数n→0与2=盟xA→0不是等价的，由 合，0可以指出m0,但由”四雅不出入→0。正因如先。不能记久0改写为 (3)积分区间为有限区间与函数有界都是定积分存在的必要条件。 首先，若把积分区间换为无限区间，根据定积分的定义，当把积分区间分割为”个小区 间后，必有一个小区间△c的长度为无穷大，从而使极限条件=盟xA→0不可能成立， 故定积分f(x)达不存在：其次，即使积分区间是有限区间且被积函数为有界函数，定积 分色来经有在，州，考意故一人有限区同Q上， Dx≤1，即被积函数D(x)是有界的。考虑O,】的任意分割 0=x<x<名<.<x。<1,在每个小区间[xx]上取有理点气时，有D)=1,于 是2D(5A=立1A=1,取元=mxA,则有m2D(5A=m∑1a=1: 在每个小区间[xx]上取无理点时，有D(5)=0,于是2D5Ax=0△x=0
第五章 定积分 1．如何理解定积分的定义？ 对于定积分的定义，应注意以下几点： （1）定义中强调的是对区间 [ , ] a b 分割的任意性和点 i 在 1 [ , ] i i x x − 上的取法的任意性，这也 就是说对于一个在有限区间 [ , ] a b 上有界的函数 f x( ) ，对于 [ , ] a b 的任意分割以及点 i 在 1 [ , ] i i x x − 上的任意的取法，相应的和式的极限都存在，且都是同一个确定的常数，才能说明 函数的定积分是存在的；也可以反过来理解，若能找出区间 [ , ] a b 的两种不同的分割以及点 i 的两种取法（可以相同，也可以不相同）或 [ , ] a b 的同一分割以及 i 的两种不同的取法， 得到的两个不同的和式的极限存在，但是不相等，或者找到 [ , ] a b 的某一分割以及点 i 的某 一种取法，相应的和式的极限不存在，由此就可以推出函数的定积分是不存在的。在定积分 存在的条件下，定积分的值与区间 [ , ] a b 的分割及点 i 取法无关。 （2）在定义中，分割的区间 1 [ , ] i i x x − 的个数 n → 与 1 max 0 i i n x = → 不是等价的，由 →0 可以推出 n → ，但由 n → 却推不出 →0 ，正因如此，不能把 →0 改写为 n →。 （3）积分区间为有限区间与函数有界都是定积分存在的必要条件。 首先，若把积分区间换为无限区间，根据定积分的定义，当把积分区间分割为 n 个小区 间后，必有一个小区间 i x 的长度为无穷大，从而使极限条件 1 max 0 i i n x = → 不可能成立， 故定积分 ( ) b a f x dx 不存在；其次，即使积分区间是有限区间且被积函数为有界函数，定积 分也未必存在，例如，考虑函数 1, ( ) 0 x D x x = 是有理数， ， 是无理数， 显然在有限闭区间 [0,1] 上， D x( ) 1 ， 即 被 积 函 数 D x( ) 是 有 界 的 。 考 虑 [0,1] 的 任 意 分 割 ： 0 1 2 0 1 n = x x x x ，在每个小区间 1 [ , ] i i x x − 上取有理点 i 时，有 ( ) 1 D i = ，于 是 1 1 ( ) 1 1 n n i i i i i D x x = = = = ，取 1 max i i n x = ，则有 0 0 1 1 lim ( ) lim 1 1 n n i i i i i D x x → → = = = = ； 在每个小区间 1 [ , ] i i x x − 上取无理点 i 时，有 ( ) 0 D i = ，于是 1 1 ( ) 0 0 n n i i i i i D x x = = = =
取A=mxA,则有m之D(A=m之0ay=0.这样对于0,1的同一分制，相 应于气在各个不同区间内的两种不同取法，得到的两个和式的极限存在，但不相等，由此 推出定积分[D(x)d不存在。 2.函数可积的充分条件有哪些？ (1)若函数f(x)在闭区间[a,b上连续，则f(x)在[a,b]上可积。 (2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上有界且仅有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。 (3)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。 3.定积分与不定积分有什么区别？有什么联系？ 函数fx)的定积分∫广fx)d=im∑f(5)△x,它是积分和式的极限，结果为一个 确定的常数：而函数(x)的不定积分「f(x)本则是f(x)的原函数的全体，它是一个集合， 因此，这是两个截然不同的概念。 由后面即将学到的牛顿一莱布尼茨公式可知，不定积分是定积分计算的基础。 4,若函数在区间上有原函数，这函数在该区间上是否一定可积？反之，若函数在区间上可 积，其是否存在原函数？ 不定，例物，Fw-Fs如0在可号，且 0,x=0 12 fx)=F'(x)= 2xsin 0,x=0 这说明f(x)在[-L,]上存在原函数F(x),但函数f(x)在[-1，]上不可积，因为函数f(x) 在[-1，川上无界。 反之，若函数在区间上可积，其原函数也不一定存在。例如， 1,x>0, 函数sgx={0,x=0,在区间[-L,】上除点x=0为第一类间断点外，在其余各点都是连续 -l,x<0 的，故∫sgn xd存在。但是由于sgx在[-l,】上不存在原函数，因为x=0是它的第一 类间断点
取 1 max i i n x = ，则有 0 0 1 1 lim ( ) lim 0 0 n n i i i i i D x x → → = = = = 。这样对于 [0,1] 的同一分割，相 应于 i 在各个不同区间内的两种不同取法，得到的两个和式的极限存在，但不相等，由此 推出定积分 1 0 D x dx ( ) 不存在。 2．函数可积的充分条件有哪些？ （1）若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上连续，则 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积。 （2）若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上有界且仅有有限个间断点，则 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积。 （3）若函数 f x( ) 在闭区间 [ , ] a b 上单调，则 f x( ) 在 [ , ] a b 上可积。 3．定积分与不定积分有什么区别？有什么联系？ 函数 f x( ) 的定积分 0 1 ( ) lim ( ) n b i i a i f x dx f x → = ＝ ，它是积分和式的极限，结果为一个 确定的常数；而函数 f x( ) 的不定积分 f x dx ( ) 则是 f x( ) 的原函数的全体，它是一个集合， 因此，这是两个截然不同的概念。 由后面即将学到的牛顿—莱布尼茨公式可知，不定积分是定积分计算的基础。 4．若函数在区间上有原函数，这函数在该区间上是否一定可积？反之，若函数在区间上可 积，其是否存在原函数？ 不一定。例如， 2 2 1 sin , 0, ( ) 0 x x F x x x = ， =0 在 [ 1,1] − 上可导，且 2 2 1 2 1 2 sin cos , 0, ( ) ( ) 0, 0, x x f x F x x x x x − = = = 这说明 f x( ) 在 [ 1,1] − 上存在原函数 F x( ) ，但函数 f x( ) 在 [ 1,1] − 上不可积，因为函数 f x( ) 在 [ 1,1] − 上无界。 反之，若函数在区间上可积，其原函数也不一定存在。例如， 函数 1, 0, sgn 0, 0, 1, 0 x x x x = = − 在区间 [ 1,1] − 上除点 x = 0 为第一类间断点外，在其余各点都是连续 的，故 1 1 sgn xdx − 存在。但是由于 sgn x 在 [ 1,1] − 上不存在原函数，因为 x = 0 是它的第一 类间断点
5.如何利用定积分的几何意义求某些特殊的定积分？ 根据定积分的几何意义，[f(x)k表示的是介于x轴、曲线y=f(x)及直线 x=a,x=b之间的各部分图形的面积的代数和，即在x轴上方图形的面积与在x轴下方图 形的面积之差，只要把图形画出来，借助于几何方法即可把一些特殊的定积分计算出来。例 如 2-子d在表示的是由x=-巨，x=巨，x轴和上半圆周y=2-天围成的图 形的面积，即圆+少2=2的面积的一半，也就是2-F在=x5驴=京. [广(1-V2x-x2)表示的是由x=1,x=2,x轴和圆(x-1)2+0y-1)2=1的下半圆 用成的图形的面积，即[1-√2x-xk=1-产。 6.积分中值定理与微分中值定理之间有怎样的联系？ 在教材中，积分中值定理结论中的5∈[a,b],事实上完全可以改为5∈(a,b),在有些 情况下，利用开区间可能会更方便。 积分中值定理与微分中值定理有若密切的联系：若F(x)是f(x)的一个原函数，f(x) 在[a,b]上连续，则存在5e(a,b),使得 ["f(x)dx=F(b)-F(a)=F(EXb-a)=f(5Xb-a). 7.在积分中值定理中，f(x)在[a,b]上连续的条件是否可改为在[a,b]上可积？ 3,0≤x≤1 不可以。例如，f心)=1<≤2在X=1处不连续（K=1是第一类同断点，则等式 fxt=f52-0,.0≤5s2 不成立，事实上 [f(x)dx=[3da+[ldx=4. 当0≤5≤1时， f(5)=3, f(5)2-0)=6, 当1<E≤2时， f(5)=1, f(5)2-0)=2, 所以 [fx)d≠f5X2-0).0≤5≤2。 8.xfx,厂f(x,fh这三个表达式是否表示同一个函数？
5．如何利用定积分的几何意义求某些特殊的定积分？ 根据定积分的几何意义， ( ) b a f x dx 表示的是介于 x 轴、曲线 y f x = ( ) 及直线 x a x b = = , 之间的各部分图形的面积的代数和，即在 x 轴上方图形的面积与在 x 轴下方图 形的面积之差，只要把图形画出来，借助于几何方法即可把一些特殊的定积分计算出来。例 如， 2 2 2 2 x dx − − 表示的是由 x x = − = 2, 2 ， x 轴和上半圆周 2 y x = −2 围成的图 形的面积，即圆 2 2 x y + = 2 的面积的一半，也就是 2 2 2 2 1 2 ( 2) 2 x dx − − = = 。 2 2 1 (1 2 ) − −x x dx 表示的是由 x x = = 1, 2， x 轴和圆 2 2 ( 1) ( 1) 1 x y − + − = 的下半圆 围成的图形的面积，即 2 2 1 (1 2 ) 1 4 x x dx − − = − 。 6．积分中值定理与微分中值定理之间有怎样的联系？ 在教材中，积分中值定理结论中的 [ , ] a b ，事实上完全可以改为 ( , ) a b ，在有些 情况下，利用开区间可能会更方便。 积分中值定理与微分中值定理有着密切的联系：若 F x( ) 是 f x( ) 的一个原函数， f x( ) 在 [ , ] a b 上连续，则存在 ( , ) a b ，使得 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) b a f x dx F b F a F b a f b a = − = − = − 。 7．在积分中值定理中， f x( ) 在 [ , ] a b 上连续的条件是否可改为在 [ , ] a b 上可积？ 不可以。例如， 3,0 1, ( ) 1,1 2 x f x x = 在 x =1 处不连续（ x =1 是第一类间断点），则等式 2 0 f x dx f ( ) ( )(2 0),0 2 = − 不成立，事实上 2 1 2 0 0 1 f x dx da dx ( ) 3 1 4 = + = ， 当 0 1 时， f ( ) 3 = ， f ( )(2 0) 6 − = ， 当 1 2 时， f ( ) 1 = ， f ( )(2 0) 2 − = ， 所以 2 0 f x dx f ( ) ( )(2 0),0 2 − 。 8． ( ) , ( ) , ( ) x x x a a a x f x dx xf x dx xf t dt 这三个表达式是否表示同一个函数？
不是。对表达式xfx女，由于定积分与积分变量的记法无关，故有 xfx女=x[f):对表达式∫f)h,由于被积表达式中的变量x与积分变量无 关，可以提到积分号的外面，故有xyf)h=xf0)dh:因此xfx:=广f)h。 而表达式广f(x女，如果将积分变量x记作1，则广f(x女=∫广fh,故它与其他两 个积分是不同的。 9.对积分上限函数求导时应注意什么问题？ (1)首先要弄清楚是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来。 积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导， (x)=广(x-)f)dh的导数，可先对(x)=(x-)f)d山进行变形，把上限变量x从 被积表达式内分离出来，即(x)=x-))d=xf)-u,故有 D'(x)=[f(t)dt-xf(x)-xf(x)=[f(t)dt (2)对积分上限函数的导数的求法，还应熟练掌握以下公式： &f0h=vewe云joh=-neewe: 孟0=w-p,其中的pw是可号商。 10.牛顿一莱布尼茨公式的条件可以放宽吗？ 牛顿一莱布尼茨公式的条件可以适当放宽：设F(x)是∫(x)在[a,b]的一个原函数， fx)在[a,b]上可积，则fx=F(b)-F(a),即f(x)在[a,b)上连续可以改为“可 积”。 1山，定积分的换元法与不定积分的换元法有何共同点与差别？ 同点是：它们都是建立在找被积函数的原函数基础之上的积分方法，但它们又有各自的 特点 (1)不定积分的换元法的主要目的是通过换元求出被积函数的原函数的一般表达式。有 第一换元法和第二换元法两种。第一换元法也称“凑微分法”，它的特点是逐步将被积函数 的原函数凑出来，而不必明显地将原积分换成新变量积分后，再求原函数：第二换元法的特 点是必须把原积分换成新变量的积分，然后求出新变量的原函数，再在结果中将新变量换回 到原来的变量，即令x=(),则有 d-nor)C 其中，1=p'(x)是x=()的反函数，故第二换元法必须要求换元函数的反函数存在，这
不是。对表达式 ( ) x a x f x dx ， 由 于 定 积分 与 积 分 变 量的 记 法 无 关， 故 有 ( ) ( ) x x a a x f x dx x f t dt = ；对表达式 ( ) x a xf t dt ，由于被积表达式中的变量 x 与积分变量无 关，可以提到积分号的外面，故有 ( ) ( ) x x a a xf t dt x f t dt = ；因此 ( ) x a x f x dx = ( ) x a xf t dt 。 而表达式 ( ) x a xf x dx ，如果将积分变量 x 记作 t ，则 ( ) x a xf x dx = ( ) x a tf t dt ，故它与其他两 个积分是不同的。 9．对积分上限函数求导时应注意什么问题？ （1）首先要弄清楚是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来。 积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导， 与积分变量没有关系。但是有时会遇到上限变量也含在被积函数表达式内的情况，这是应把 上限变量从被积表达式内分离出来，并提到积分号外，然后再进行求导。例如，要求 ( ) ( ) ( ) x a = − x x t f t dt 的导数，可先对 ( ) ( ) ( ) x a = − x x t f t dt 进行变形，把上限变量 x 从 被积表达式内分离出来，即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x a a a = − = − x x t f t dt x f t dt tf t dt ，故有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x a a = − − = x f t dt xf x xf x f t dt 。 （2）对积分上限函数的导数的求法，还应熟练掌握以下公式： ( ) ( ) [ ( )] ( ) x a d f t dt f x x dx = ； ( ) ( ) [ ( )] ( ) b x d f t dt f x x dx = − ； ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] ( ) x x d f t dt f x x f x x dx = − ，其中的 ( ), ( ) x x 都是可导函数。 10．牛顿—莱布尼茨公式的条件可以放宽吗？ 牛顿—莱布尼茨公式的条件可以适当放宽：设 F x( ) 是 f x( ) 在 [ , ] a b 的一个原函数， f x( ) 在 [ , ] a b 上可积，则 ( ) ( ) ( ) b a f x dx F b F a = − ，即 f x( ) 在 [ , ] a b 上连续可以改为 “可 积”。 11．定积分的换元法与不定积分的换元法有何共同点与差别？ 共同点是：它们都是建立在找被积函数的原函数基础之上的积分方法，但它们又有各自的 特点： （1）不定积分的换元法的主要目的是通过换元求出被积函数的原函数的一般表达式。有 第一换元法和第二换元法两种。第一换元法也称“凑微分法”，它的特点是逐步将被积函数 的原函数凑出来，而不必明显地将原积分换成新变量积分后，再求原函数；第二换元法的特 点是必须把原积分换成新变量的积分，然后求出新变量的原函数，再在结果中将新变量换回 到原来的变量，即令 x t = ( ) ，则有 1 1 ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) [ ( )] t x t x f x dx f t t dt F t C − − = = = = + ， 其中， 1 t x ( ) − = 是 x t = ( ) 的反函数，故第二换元法必须要求换元函数的反函数存在，这
是与第一换元法的差别。 (2)定积分的换元法的目的在于求出积分值，这是它与不定积分的换元法不同之处。它 在换元的同时，要相应地变换积分的上、下限，将原积分变换成一个积分值相等的新积分 因此积分经过变换后，不必再去关心原被积函数的原函数是什么，也没有必要再去关心变换 函数是否存在反函数等问题。这是定积分换元法与不定积分换元法的最大区别。此外，还有 其他一些差别。比如，通过换元法知，如果∫(x)是在【一山，门上的连续奇函数，那么 ∫fx女=0，无需寻找fx)的原函数，就能断定其积分值为零。对定积分还可以构造 些更巧妙的换元技巧，例如，对定积分1=n08本，可令x=-1,则有 1-in-mna 所以 o女+fnn女-fh-号 21=[cosx 故1= 因此，定积分的换元法能够使我们得到一些特殊的运算技巧。 12。如何理解定积分换元法的条件？ 对于定积分换元法中的条件必须把握两点：(1)x=()必须具有连续导数：(2) x=(1)的值与必须充满原积分变量x的积分区间[a,]。例如， s-5mrm方： 由于技积故在疗子1上恒大于军，故其定积分多为正，因代结果有定足 错误的。原因在于所用的变换不符合定积分换元公式成立的条件，由于u=mx在匠， 有间断点x-行，易知其反函数x=arctan在区间[-1川上也必有间断点，不满足定积分 换元法的条件。正确做法如下： 套高盲岛 -2岛-5om或-6antm6
是与第一换元法的差别。 （2）定积分的换元法的目的在于求出积分值，这是它与不定积分的换元法不同之处。它 在换元的同时，要相应地变换积分的上、下限，将原积分变换成一个积分值相等的新积分， 因此积分经过变换后，不必再去关心原被积函数的原函数是什么，也没有必要再去关心变换 函数是否存在反函数等问题。这是定积分换元法与不定积分换元法的最大区别。此外，还有 其他一些差别。比如，通过换元法知，如果 f x( ) 是在 [ , ] −l l 上的连续奇函数，那么 ( ) 0 l l f x dx − = ，无需寻找 f x( ) 的原函数，就能断定其积分值为零。对定积分还可以构造 一些更巧妙的换元技巧，例如，对定积分 2 0 cos sin cos x I dx x x = + ，可令 2 x t = − ，则有 2 2 0 0 sin sin cos sin cos sin t x I dt dx t t x x = = + + ， 所以 2 2 2 0 0 0 cos sin 2 1 sin cos sin cos 2 x x I dx dx dx x x x x = + = = + + 。 故 4 I = 。 因此，定积分的换元法能够使我们得到一些特殊的运算技巧。 12．如何理解定积分换元法的条件？ 对于定积分换元法中的条件必须把握两点：（1） x t = ( ) 必须具有连续导数；（2） x t = ( ) 的值与必须充满原积分变量 x 的积分区间 [ , ] a b 。例如， 对于定积分 3 4 2 4 1 cos dx x + ，若用变换 u x = tan ，则有 1 3 1 4 2 2 1 4 1 1 1 arctan 2 arctan 1 cos 2 2 2 2 dx du u x u − − = = = − + + 。 由于被积函数 2 1 1 cos + x 在 3 [ , ] 4 4 上恒大于零，故其定积分必为正，因此结果肯定是 错误的。原因在于所用的变换不符合定积分换元公式成立的条件，由于 u x = tan 在 3 [ , ] 4 4 有间断点 2 x = ，易知其反函数 x u = arctan 在区间 [ 1,1] − 上也必有间断点，不满足定积分 换元法的条件。正确做法如下： 3 3 1 4 4 2 2 2 1 4 4 1 1 2 0 0 cot 1 cos 1 2cot 1 2 2 [ 2 arctan 2 ] 2 arctan 2. 1 2 dx d x du x x u du u u − = − = − + + + = = = +