第三章练习题 练习一 一、填空题 1、设在[a,上连续，在(a,b)内可导，则至少存在一点EE(a,b),使e/-e@=一 2、函数x)=在区间1,2上满足拉格朗日中值定理中的= 3、x)=1-2在1，门上不满足罗尔定理的条件是 4、函数x)=e在区间0，]上的有限增量公式中的0= 5、函数x)=(x-)(-2)(x3)(x4),则fx)=0有分别位于区间 内的 三个实根. 6、设x)=之，gx+1,则由柯西中值定理，在(1,2)内存在一点=一使 f2)-f)-(5) g(2)-g1)g(5) 二、证明：若x)在（一，十）内导数恒为常数，则x)在（一D,十o)内是一线性函数，即x)=a +b,其中a,b为常数，一<十 三、已知函数)0，]上连续，在(0,1)内可导，且0=1,1)=0，求证在(0,1)内至少存在 点6使了(=-组
45 第三章 练习题 练习一 一、填空题 1、设 f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，则至少存在一点 ξ (a, b)，使 f (b) f (a) e − e ＝ . 2、函数 f(x)＝x 4 在区间[1, 2]上满足拉格朗日中值定理中的 ξ＝ . 3、f(x)＝1- x 2/3 在[-1, 1]上不满足罗尔定理的条件是 . 4、函数 f(x)＝e x在区间[0, 1]上的有限增量公式中的 θ＝ . 5、函数 f(x)＝(x-1) (x-2) (x-3) (x-4)，则 f΄(x)＝0 有分别位于区间 、 、 内的 三个实根. 6、设 f(x)＝x 3，g(x)= x 2+1，则由柯西中值定理，在(1,2)内存在一点 ξ＝ ，使 '( ) '( ) (2) (1) (2) (1) g f g g f f = − − . 二、证明：若 f(x)在(－∞，＋∞)内导数恒为常数，则 f(x)在(－∞，＋∞)内是一线性函数，即 f(x)=ax ＋b，其中 a,b 为常数，－∞<x<＋∞. 三、已知函数 f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且 f(0)=1，f(1)=0，求证在(0,1)内至少存在一 点 ξ，使 ( ) '( ) f f = −
四、设x)在[a,上连续，在(a,b)内可导b>a>0,求证存在一点5∈(a,b,使 n(6)-f(a)-(-). 25 五、证明下列不等式 。<hg<2a>>0叭 a 20 Inx 3、|smx2-smxx2-x,其中，为任意实数
46 四、设 f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导(b>a>0)，求证存在一点 ξ (a,b)，使 ( ) 2 '( ) ( ) ( ) 2 2 b a f f b − f a = − . 五、证明下列不等式 1、 ln .( 0) − − a b b a b b a a a b 2、 ( 1). ln 1 ln(1 ) + + x x x x x 3、|sin sin | | | 2 1 2 1 x − x x − x ，其中 x1，x2 为任意实数
练习二 一、利用罗必塔法则求极 上 2、mnx 3.lim x(e -1) 4g台 5.ling n 6、m(x+V1+x2)
47 练习二 一、利用罗必塔法则求极限 1、 x x x 1 cos 3 1 cos 2 lim 0 − − → 2、 x e x x ln lim 1/ 0 → + 3、 lim ( 1) 1/ − → x x x e 4、 ) 1 1 1 lim ( 0 − − → x x x e 5、 x x x sin 0 lim → + 6、 x x x x 2 1/ lim ( + 1+ ) →+
入m(cosF) 8、mg",0<g<l,neN) 三一、设具有-阶连续导数，00，了02，求mm0s 三、设具有=阶号数/正明=鸟+》-2+-创 因，设民有二价好数，在0的某去心能城纳0，且n四=0了0=4，求 m1+
48 7、 x x x / 0 lim (cos ) → + 8、 lim nq ,(0 q 1,n N) n n → 二、设 f(x)具有一阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=2，求 2 0 tan (1 cos ) lim x f x x − → 三、设 f(x)具有二阶导数 f’’(x)，证明 f’’(x)＝ 2 0 ( ) 2 ( ) ( ) lim h f x h f x f x h h + − + − → 四、设 f(x)具有二阶导数，在 x=0 的某去心邻域内 f(x) 0，且 0, ' '(0) 4 ( ) lim 0 = = → f x f x x ，求 x x x f x 1/ 0 ) ( ) lim (1+ →
练习三 一、求1中2在=0处的阶多项式 二、求函数一xd的n阶麦克劳林展开式. ◆三、应用三阶奏勒公式，求sinl8近似值，并估计误差
49 练习三 一、求 f(x)= 1 2x 1 + 在 x＝0 处的 n 阶泰勒多项式. 二、求函数 y=xex的 n 阶麦克劳林展开式. *三、应用三阶泰勒公式，求 sin180 近似值，并估计误差